Напряжение

Если в сечении выделить бесконечно малую площадку и предположить, что внутренние силы, приложенные к его различным точкам, одинаковы по величине и направлению, то равнодействующая их будет проходить через центр тяжести элемента (рис. 10).

Рис. 10

Проекциями на оси , и будут элементарная продольная сила , и элементарные поперечные силы и .

Разделим эти элементарные силы на площадь , получим величины, называемые напряжениями в точке проведенного сечения.

; ; ,

где - нормальное напряжение; - касательное напряжение.

Напряжение – внутренняя сила, отнесенная к единице площади в данной точке рассматриваемого сечения.

Напряжение измеряется в единицах напряжения - паскалях (Па) и кратных ему – (кПа, МПа)

Иногда кроме нормальных и касательных напряжений рассматривают еще и полное напряжение

Понятие «напряжение» играет очень важную роль в расчетах на прочность. Поэтому значительная часть курса сопротивления материалов отводится изучению способов вычисления напряжений и .

Растяжение и сжатие

Центральным растяжением (сжатием) называется такой вид деформации, при котором в поперечном сечении бруса возникает только продольная сила (растягивающая и сжимающая) а все остальные внутренние силовые факторы равны нулю.

Растягивающие продольные силы принято считать положительными, а сжимающие – отрицательными.

Продольные силы определяются с помощью метода сечений.

Пример

Пусть имеется ступенчатый стержень, нагруженный силами , и вдоль оси стержня, показанного на рис. 11, а. Определить величину продольных сил.

Решение. Стержень может быть разделен на участки по местам приложения нагрузок и по местам изменения поперечного сечения.

Первый участок ограничен точками приложения сил и . Направим ось вдоль оси участка вверх с началом координат в точке приложения силы (начало первого участка). Мысленно рассечем первый участок поперечным сечением на расстоянии от начала первого участка. Причем координата может быть взята в интервале , где - длина первого участка.

Рассмотрим равновесие нижней части стержня, заменив действие верхней части на нижнюю часть стержня продольной силой , предварительно направив ее в сторону растяжения рассматриваемой части.

Из условия равновесия статики:

; , кН

Положительный знак продольной силы говорит о том, что первый участок растянут.

Значение продольной силы не зависит от координаты , поэтому на всем участке значение продольной силы постоянно и равно .

Рис. 11

Второй участок ограничен точками приложения сил и . Направим ось вдоль оси участка вверх с началом координат в точке приложения силы (начало второго участка).

Мысленно рассечем второй участок поперечным сечением на расстоянии от начала второго участка. Причем координата может быть взята в интервале , где - длина второго участка.

Рассмотрим равновесие нижней части стержня, заменив действие верхней части на нижнюю часть стержня продольной силой , предварительно направив ее в сторону растяжения рассматриваемой части.

Из условия равновесия статики:

;

, кН

Знак минус говорит о том, что второй участок сжат.

Аналогично для третьего участка:

;

, кН

Полученные результаты для большей наглядности удобней представить в виде графика (эпюры N), показывающего изменение продольной силы вдоль оси стержня. Для этого проводим нулевую (базовую) линию параллельно оси стержня, перпендикулярно которой будем в масштабе откладывать значения осевых усилий (рис. 1.11, д). В одну сторону откладываем положительные значения, в другую - отрицательные. Эпюра заштриховывается перпендикулярно нулевой линии, а в нутрии эпюры ставится знак откладываемой величины. Рядом указываются значения откладываемых величин. Рядом с эпюрой в кавычках указывается название эпюры («N») и через запятую - единицы измерения (кН)

Нормальные напряжения

Отсутствие поперечных сил при растяжении (сжатии) дает основание предположить, что в каждой точке поперечного сечения касательные напряжения равны нулю.

Продольная сила в сечении бруса является равнодействующей нормальных напряжений, действующих в плоскости поперечного сечения.

Закон распределения напряжений может быть определен из эксперимента. Установлено, что если на стержень нанести прямоугольную сетку, то после приложения продольной нагрузки вид сетки не изменится, она по-прежнему останется прямоугольной, а все линии прямыми. Поэтому можно сделать вывод о равномерном по сечению распределении продольных деформаций и перейти к гипотезе плоских сечений.

Гипотеза плоских сечений: поперечные сечения стержня, плоские и нормальные к его оси до деформации остаются плоскими и нормальными к оси и при деформации.

Так как одинаковым удлинениям соответствуют одинаковые напряжения, то напряжения всех волокон в поперечном сечении будут одинаковы. Тогда

,

откуда

Отметим, что полученное выражение справедливо для сечений достаточно удаленных от мест приложения сосредоточенных нагрузок. Вблизи приложения нагрузок распределение напряжений носит сложный характер.

Для обеспечения прочности стержня должно выполняться условие прочности - конструкция будет прочной, если максимальное напряжение ни в одной точке нагруженной конструкции не превышает допускаемой величины, определяемой свойствами данного материала и условиями работы конструкции, то есть

.

Допускаемое напряжение

,

где - опасное напряжение;

- коэффициент запаса прочности. Величина коэффициента запаса прочности назначается в пределах , а иногда и более, с учетом многих факторов, в частности, точности принятых расчетных соотношений, условий эксплуатации конструкции, особых требований по безопасности работы, норм, принятых в отрасли промышленности. В машинах и аппаратах химических производств .

Испытания механических свойств материалов

Для определения опасных напряжений необходимо провести испытания образцов материала на растяжение и сжатие (более подробно эта тема рассмотрена в методических указаниях к лабораторным работам по сопротивлению материалов (1 часть)»

Испытания материалов на растяжение (сжатие) заключается в построении кривых зависимостей между величиной удлинения (укорочения) и величиной силы , которая вызвала данное удлинение (укорочение). От диаграммы растяжения в координатах и можно, разделив все ординаты на площадь поперечного сечения образца , а абсциссы на первоначальную длину образца , перейти к диаграмме в координатах и , где:

- нормальное напряжение в поперечном сечении образца;

- относительное удлинение

Диаграмма - более удобна и лучше отражает физические свойства материала, так как она не зависит от геометрических размеров испытываемого образца.

Рассмотрим характерные точки диаграммы - растяжения малоуглеродистой стали (рис. 12, кривая 1), которые характеризуют прочность исследуемого материала. Данная диаграмма называется диаграммой условных напряжений, так как напряжения определяются отношением силы на первоначальную площадь поперечного сечения.

Диаграмма истинных напряжений (рис. 12, кривая 2) в диапазоне напряжений, соответствующих характеристикам прочности, мало отличается от диаграммы условных напряжений, поэтому на практике используют диаграммы условных напряжений.

Рис. 12 Диаграммы растяжения в координатах - .

До определенного значения напряжения имеет место линейная зависимость между величинами относительного удлинения и напряжения . Материал в данном случае подчиняется закону Гука – закону пропорциональности нагрузки и деформации.

,

где коэффициент пропорциональности - модуль продольной упругости(модуль Юнга), величина которого постоянна для каждого материала. Он характеризует жесткость материала, т.е. способность сопротивляться деформированию под действием внешней нагрузки..

Максимальное напряжение , до которого материал подчиняется закону Гука, называется пределом пропорциональности.

Выше предела пропорциональности наблюдается нелинейная зависимость напряжения от относительной деформации.

До какого то значения напряжения после снятия нагрузки материал все еще не имеет остаточных деформаций.

Наибольшее напряжение , до которого остаточная деформация при разгрузке не обнаруживается, называется пределом упругости.

Предел упругости является характеристикой, не связанной с законом Гука. Предел упругости может иметь значение как выше, так и ниже значения предела пропорциональности. Эти напряжения близки друг к другу и обычно различием между ними пренебрегают.

При каком то значении напряжения удлинение образца растет при практически постоянном значении растягивающей силы. Такой процесс деформации называется текучестью материала.

Наименьшее напряжение , при котором деформация образца происходит при постоянном растягивающем усилии, называется пределом текучести.

Для металлов, не имеющих площадки текучести, предел текучести определяют условно как напряжение, при котором остаточная деформация составляет 0,2 %.

После стадии текучести материал вновь приобретает способность увеличивать сопротивление дальнейшей деформации.

Напряжение, соответствующее максимальной нагрузке , которую может воспринимать образец, называется пределом прочности или временным сопротивлением.

После достижения максимального усилия при дальнейшем растяжении образца деформация происходит, главным образом, на небольшой длине образца. Это ведет к образованию местного сужения в виде шейки и к падению силы (рис. 12. кривая 1), несмотря на то, что истинное напряжение в сечении шейки непрерывно растет (рис. 12. кривая 2).

Полное удлинение, полученное образцом перед разрушением, уменьшится после разрыва, так как в частях образца исчезнут упругие деформации.

Отношение в процентах приращения расчетной длины образца после разрыва к его первоначальной длине , называется относительным остаточным удлинением :

Отношение в процентах абсолютного уменьшения площади поперечного сечения в шейке к первоначальной площади , называется относительным остаточным сужением.:

Относительное остаточное удлинение и относительное остаточное сужение являются характеристиками пластичности материала.

Испытание на сжатие, несмотря на простоту, проводят реже, так как модуль упругости , предел упругости и предел текучести при сжатии примерно те же, что и при растяжении.

Испытанию на сжатие подвергают главным образом хрупкие материалы, которые, как правило, лучше сопротивляются сжатию, чем растяжению, и применяются для изготовления элементов, работающих на сжатие.

Подробное описание испытания на сжатие описано в методических указаниях к лабораторным работам по дисциплине «Сопротивление материалов» (первая часть).

Деформации при растяжении (сжатии)

При растяжении стержня постоянного поперечного сечения длина увеличивается, а поперечные размеры уменьшаются (рис. 13).

Рис. 13

Из закона Гука

Учитывая то, что и имеем:

Если на рассматриваемом участке продольная сила и поперечное сечение переменны, то удлинение участка длиной получим, суммируя удлинения бесконечно малых участков.

где - координата бесконечно малого участка;

- продольная сила в сечении с координатой ;

- длина бесконечно малого участка;

- площадь поперечного сечения стержня с координатой .

Если мы возьмем произвольный поперечный размер , то его изменение, отнесенное к его первоначальному значению, даст нам относительную поперечную деформацию (рис. 13):

Между поперечной и продольной относительной деформацией при простом растяжении (сжатии) в пределах применимости закона Гука существует постоянное отношение. Абсолютная величина этого отношения носит название Коэффициента Пуассона и обозначается буквой :

Учитывая, что продольная и поперечная деформация всегда имеют противоположные знаки, получаем

Коэффициент Пуассона наряду с модулем продольной упругости характеризует упругие свойства материалов.

В некоторых случаях для обеспечения нормальной работы конструкций размеры их элементов нужно выбирать так, чтобы обеспечивалось условие жесткости. При растяжении (сжатии) условие жесткости имеет следующий вид:

где - изменение размеров детали;

- допускаемая величина этого изменения.

Расчет по условию жесткости всегда следует дополнять расчетом на прочность.

Лекция 2. Геометрические характеристики плоских сечений{jcomments on}

Основным объектом, изучаемым в курсе сопротивление материалов, является стержень.

Сопротивление стержня различным видам деформации часто зависит не только от его материалов и размеров, но и от очертаний оси, формы поперечных сечений и их расположения. Рассмотрим основные геометрические характеристики поперечных сечений бруса, определяющие сопротивление различным видам деформаций.