Уравнение реактора в одногрупповом приближении

Гомогенный реактор без отражателя В ОДНОГРУППОВОМ ПРИБЛИЖЕНИИ

Как отмечалось, важнейшей задачей физики ЯР является нахождение простанственно - энергетического распределения потока нейтронов. Поэтому важно получить исходное уравнение, решение которого позволит получить искомое распределение. В курсе «Теория переноса» было рассмотрено диффузионно - возрастное приближение, суть которого состоит в следующем: в размножающей среде замедляющиеся (надтепловые) нейтроны испытывают только замедление, а тепловые нейтроны – только диффузию. При этом поведение замедляющихся нейтронов описывалось уравнением возраста, а поведение тепловых – уравнением диффузии.

Так как одногрупповое приближение подразумевает то, что все процессы в ЯР обусловлены тепловыми нейтронами, то уравнение диффузии и является тем искомым уравнением для потоков нейтронов. Вместе с тем тепловые нейтроны рождаются при замедлении надтепловых, следовательно для корректного решения необходимо рассмотреть не отдельно уравнение диффузии, а рассмотреть это уравнение совместно с уравнением возраста.

Сделаем ряд допущений. Пусть среда ЯР слабопоглощающая (что соответствует большим реакторам). Тогда предположим, что захват нейтронов в процессе замедления отсутствует, следовательно, поведение замедляющихся нейтронов можно описать уравнением возраста без учета поглощения:

,

где - плотность замедления, τ – возраст нейтронов.

Кроме того, предположим, что все резонансное поглощение сосредоточено на границе раздела топливной и замедляющей области, где плотность замедляющихся нейтронов изменяется скачком в j раз (j - вероятность избежать резонансного захвата). Следовательно, часть замедляющихся нейтронов не избежит резонансного поглощения. Таких нейтронов будет. Другая часть замедляющихся нейтронов избежит резонансного поглощения и станет источником тепловых нейтронов:.

Таким образом, для корректного получения требуемого уравнения надо рассмотреть уравнение диффузии совместно с уравнением возраста:

, (2.1)

, (2.2)

где F(r) –поток тепловых нейтронов, - источник тепловых нейтронов.

Для окончательной постановки задачи необходимо задать начальные условия. В качестве начального условия используется выражение для скорости генерации быстрых нейтронов при делении. Известно, что рожденные в делении быстрые нейтроны имеют возраст t = 0. Таким образом, начальное условие может быть записано как выражение для плотности замедления:

при t = 0:.

Определим его. Известно, что рождение нейтронов в процессе деления обусловлено поглощением тепловых нейтронов. Прежде чем в делении родится быстрый нейтрон, тепловой нейтрон должен поглотиться в топливе и затем вызвать деление. Согласно формуле 4-х сомножителей вероятность этого равна. При этом сами быстрые нейтроны могут вызывать рождение новых быстрых нейтронов (вероятность такого - µ). Следовательно, вероятность рождения быстрого нейтрона при поглощении одного теплового составляет. Скорость поглощения тепловых нейтронов в единице объема в единицу времени (количество поглощенных тепловых нейтронов) составляет. Таким образом, начальное условие выглядит следующим образом:

.

Перейдем к рассмотрению системы уравнений (2.1) и (2.2). Первоначально рассмотрим уравнение (2.1). Пусть в функции переменные разделяются следующим образом:

(2.3).

Подставим (2.3) в (2.1) и разделим переменные:

. (2.4)

Видно, что в (2.4) в левой части стоят функции, зависящие только от r, а в правой – только от t. Такое уравнение будет иметь решение, если каждая часть равна постоянной. Приравняем каждую часть (2.4) к постоянной вида и получим:

, (2.5)

, (2.6)

Уравнение (2.6) решается методом прямого интегрирования

. (2.7)

Величина X (0) определяется из начального условия:

Окончательно выражение (7) принимает вид:

.

Тогда функция плотности замедления будет выглядеть следующим образом:

. (2.8)

Подставим (8) в уравнение (2)

.

Приведем подобные слагаемые, разделим обе части на D:

,

зная, что квадрат длины диффузии, имеем

. (2.9)

Таким образом, выражение (2.9) есть уравнение диффузии с учетом уравнения возраста, и при его решении можно найти искомое распределение потока нейтронов в ЯР в рамках одногруппового приближения. Сравнивая выражение (2.9) с выражением (2.5), видно, что выражение (2.5) также является исходным уравнением для ЯР в одногрупповом приближении. При этом сравнении можно установить, что

. (2.10)

Видно, что параметр, определяемый трансцендентным уравнением (2.10) зависит только от материального состава ЯР и поэтому называется материальным параметром. В свою очередь уравнение (2.5):

,

где материальный параметр определяется из решения уравнения (10), называется уравнением реактора в одногрупповом приближении (или волновым уравнением).

С практической точки зрения важным является случай, когда рассматривается большой реактор, в котором геометрические размеры много больше пробегов нейтронов. Это значит, что справедливо выражение τ << R ² (R - геометрические размеры системы). Тогда функция экспоненты в выражении (2.10) изменяется слабо и ее с хорошей точностью можно разложить в ряд, ограничившись первым непостоянным членом разложения:.

Подставляя это в выражение (10) получаем:

(2.11)

При k _∞ , близком к 1, выражение (11) еще более упрощается:

, (2.12)

где M ² – площадь миграции нейтронов в процессе замедления и диффузии.