Условие критичности гомогенного реактора без отражателя в одногрупповом приближении

В физике ЯР важной составляющей является нахождение критических параметров ЯР. Эти параметры могут быть найдены на основании неких критериев, рассмотрению которых мы посвятим данный раздел. Исходным условием для определения указанных критерием может служить тот факт, что в критическом ЯР отсутствует изменение параметров во времени.

Запишем нестационарное уравнение диффузии:

Разделим обе части на D и проведем преобразования левой части уравнения так, как это было в предыдущем параграфе.

(1)

Применительно к уравнению (1) реактор станет критическим, когда прекратиться изменение потока нейтронов во времени, то есть уравнение (1) перейдет к стационарному уравнению ЯР. Следовательно, если будут найдены условия такого перехода, то эти условия и будут являться условиями критичности ЯР.

Вернемся к уравнению (1). Пусть переменные в функции Ф (r, t) разделяются следующим образом:

(2)

Подставим (2) в (1)

Обозначим выражение в скобках следующим образом:

(3).

Тогда получаем. (4)

Общее решение уравнения (4) представим в виде разложения по системе собственных функций (задача Штурма-Лиувилля):

,

где каждой собственной функции Ψ _n (r) соответствует собственное число B_n и справедливо уравнение:

.

При этом собственные числа располагаются в следующей последовательности:

(5)

Видно, что - наименьшее собственное число.

Таким образом, в окончательном виде решение уравнения (1) имеет вид:

, (6)

где в соответствии с выражением (3).

Проанализируем полученное решение (6) при различных соотношениях между и при t →∞.

1.. Тогда решение (6) примет вид:

В первом слагаемом показатель экспоненты равен 0, сама экспонента равна 1, а все первое слагаемое равно A ₀Ψ₀(r). Во втором и последующих слагаемых показатель экспоненты является отрицательным согласно (5), следовательно, при t →∞ экспоненты в этих слагаемых будут стремиться к нулю, а значит и сами эти слагаемые стремятся к нулю. Таким образом, в случае при t →∞ решение (6) имеет вид:

.

Другими словами, в этом случае нестационарное уравнение становится стационарным, и реактор переходит в критическое состояние.

2. (l >0). Тогда решение (6) примет вид:

Имеем три типа слагаемых. Первый тип – все слагаемые с номером до l -1 включительно. В этих слагаемых показатель положителен согласно (5), следовательно, экспоненты в слагаемых этого типа при t →∞ будут неограниченно возрастать, и сами слагаемые также будут неограниченно возрастать. Второй тип – слагаемое с номером l. Оно при всех t равно. Третий тип – слагаемые с номерами, большими, чем l. В них показатели экспонент отрицательны, следовательно, при t →∞ сами экспоненты стремятся к нулю, и сами слагаемые также стремятся к нулю.

Таким образом, в рассматриваемом случае функция потока при t →∞ неограниченно возрастает Ф (r, t) →∞, а сам реактор становится надкритическим.

3.. Тогда решение (6) примет вид:

Во всех слагаемых ряда показатели экспонент отрицательны. Следовательно, при t →∞ экспоненты стремятся к нулю, и сами слагаемые также стремятся к нулю. Таким образом, в рассматриваемом случае при t →∞ функция потока стремится к нулю, а сам реактор становится подкритическим.

В результате проведенного анализа было установлено следующее:

Если, то реактор находится в надкритическом состоянии.

Если, то реактор находится в подкритическом состоянии.

Если, то реактор находится в критическом состоянии.

Последнее условие является условием, при котором реактор находится в критике. Опустив индекс "0", B ² принято называть геометрическим параметром ЯР (баклингом).

Таким образом, можно сформулировать условие критичности:

В гомогенном ядерном реакторе без отражателя в одногрупповом
приближении материальный параметр равен геометрическому:
χ ²= B ² (7)

Следовательно, уравнение критического реактора примет вид:

В соответствии с (7) в критическом ядерном реакторе выражение для материального параметра можно заменить выражением для геометрического параметра:

, (8)

- необходимый (критический) коэффициент размножения для бесконечной среды, т.е. k _∞, при котором ЯР заданных размера и формы критичен.

Из (8) определим.

. (9)

С другой стороны, пользуясь общим выражением для k _эф: k _эф = k _∞∙ P (10), запишем его для критического ЯР: 1= ∙ P (11).

Затем разделим (10) на (11) и подставим (9):

Величина P сокращена, так как речь идет о ЯР заданных размера и формы, только в одном случае он критичен, в другом – нет. Окончательно получаем выражение для эффективного коэффициента размножения в одногрупповом приближении:

(12)

Сравнивая (12) с (10) получаем, что вероятность избежать утечки определяется как:

. (13)

С другой стороны, утечка в рамках диффузионно-возрастного приближения обусловлена утечкой замедляющихся нейтронов при замедлении и утечкой тепловых нейтронов при диффузии. Таким образом, вероятность избежать утечки может быть представлена как суперпозиция вероятностей избежать утечки в процессе замедления и вероятности избежать утечки в процессе диффузии:

P = P _зам∙ P _диф. (14)

Анализируя величины, входящие в (13), на основании (14) можно сделать следующие выводы: и.

Для больших реакторов, как уже рассматривалось, экспоненты в выражении (12) изменяется слабо и ее с хорошей точностью можно разложить в ряд, ограничившись первым непостоянным членом разложения:. Если еще при этом учесть, что k _∞ близок 1, то выражение (12) примет вид: