Решение задачи определения критических размеров цилиндрического ЯР

Постановка задачи для определения критических размеров цилиндрического ЯР

Критические размеры реактора цилиндрической формы

Зная состав активной зоны ЯР, мы можем определить материальный параметр, который в критическом ЯР равен геометрическому. Следовательно, если найти связь между геометрическим параметром ЯР и его размерами, то можно определить критические размеры. Величина геометрического параметра В ² находится из решения уравнения критического реактора:

Рассмотрим случай цилиндрического ЯР, так как именно такая форма присуща большинству активных зон ЯР, особенно энергетического назначения.

Пусть имеется цилиндрический ЯР, экстраполированные размеры которого равны: радиус R, высота H. Начало координат находится в центре ЯР. В цилиндрических координатах оператор Лапласа имеет вид:

z

r

z

H

R

Полагая отсутствие зависимости потоков нейтронов от азимутального угла φ уравнение реактора в данном случае примет вид:

(1)

Граничные условия: Ф (R, z) =0; Ф (r, ± H /2) =0

При этом необходимо отметить, что потоки конечны и неотрицательны.

Уравнение (1) будем решать методом разделения переменных. Пусть

Ф (R, z) = f (r)∙ g (z) (2).

Подставим (2) в (1)

, (3)

где, - радиальная составляющая геометрического параметра, - аксиальная составляющая геометрического параметра.

Таким образом, мы разделили переменные r и z.

Уравнение (3) имеет решения только в том случае, когда слагаемые с r и z не зависят от переменных, т.е. равны постоянному числу. Тогда (3) преобразуется к следующему виду:

(4)

(5)

Рассмотрим уравнение (4). Для функции f (r) граничные условия примут вид: f (R)=0. В (4) раскроем скобки и обе части (4) помножим на r ² f (r):

В первом слагаемом числитель и знаменатель помножим на; во втором – на B_r:

(6)

Уравнение (6) представляет собой уравнение Бесселя относительно аргумента rB_r (действительный аргумент) и n = 0.

Тогда общее решение уравнения (6) есть суперпозиция функций Бесселя.

f (r)= C ₁ J ₀(rB_r)+ C ₂ Y ₀(rB_r) (7),

где C ₁ и C ₂ – константы; J ₀(rB_r) - функция Бесселя первого рода 0-го порядка; Y ₀(rB_r) - функция Бесселя второго рода 0-го порядка. Известно, что при x →0 функция Y ₀(x)→∞. С другой стороны, известно, что поток нейтронов в ЯР должен быть во всем его объеме конечным. Следовательно, чтобы во всех точках ЯР выполнялось условие конечности потока, необходимо в решении (7) константу при функции Y ₀(rB_r) приравнять к нулю C ₂=0. Тогда окончательно решение уравнения (4) примет вид:

f (r)= C ₁ J ₀(rB_r) (8)

Определим B_r. Для этого воспользуемся граничными условиями f (R)=0. Функция Бесселя J ₀(rB_r) представляет собой гармоническую функцию и является положительной до первого корня (точки, где функция обращается в ноль), затем она принимает отрицательное значение. Тогда из соображений неотрицательности потоков имеем, что RB_r = ξ, где ξ - первый корень функции Бесселя первого рода нулевого порядка, ξ ≈2,405. Таким образом, получаем, что радиальная составляющая геометрического параметра равна:

(9)

Рассмотрим уравнение (5). Помножим обе его части на g (z) и приведем его к следующему виду:

(10)

Граничные условия g (± H /2) =0. Кроме того, физически очевидно, что функция g (z) – симметрична относительно оси z: g (z)= g (– z)

Уравнение (6) является линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Корни этого уравнения комплексные, следовательно, общее решение (10) записывается как:

g (z)= А cos (B_zz) + B sin(B_zz) (11)

Из функций, входящих в решение (11) симметричной относительно оси z является функция косинуса. Тогда условие симметрии будет выполняться только в случае, когда константа B в решении (11) равна нулю. Таким образом, окончательное решение уравнения (5) имеет вид:

g (z)= А cos (B_zz) (12)

Аксиальная составляющая геометрического параметра определяется с помощью заданных граничных условий: g (± H /2) =0.

(13)

Таким образом, окончательно:

(14)

Если положить, что в центре ЯР поток равен Ф ₀, то распределение потока нейтронов в критическом гомогенном цилиндрическом ЯР без отражателя в одногрупповом приближении описывается следующей функцией:

(15)

При этом анализ выражения для геометрического параметра в рассматриваемом реакторе показывает, что геометрический параметр действительно связан с геометрическими размерами активной зоны:

(16)

Зная выражение для геометрического параметра и распределение потока нейтронов, можно определить ряд необходимых характеристик критического ЯР.