2014-02-05
1580
При решении задач по определению точек пересечении линейчатых поверхностей (конических, цилиндрических, пирамидальных и призматических) с прямыми общего положения в качестве плоскостей – посредников используют плоскости общего положения. Такая плоскость, к примеру, проведенная через вершину конической поверхности и заданную прямую общего положения, пересекает коническую поверхность по двум образующим. Точки пересечения полученных образующих с исходной прямой общего положения (рассматриваемые прямые принадлежат одной плоскости) и являются точками пересечения заданных в условии задачи прямой общего положения и конической поверхности.
Пример. Построить точки пересечения прямой общего положения а и конической поверхности вращения D (Рис.49).
1-я ГПЗ; Алгоритм 3.
а х D = А,В =?
Рис.49
Для решения данной задачи используем в качестве посредника плоскость общего положения Г(S; a). Также необходимо ввести фронтально проецирующую плоскость уровня W (W 2 ). Плоскость W совпадает с плоскостью основания конической поверхности (W 2 = n 2 ).
Построим линию пересечения c двух вспомогательных плоскостей (Г и W).
Г х W = c =?
Для этого в плоскости Г проведем дополнительную прямую b.
Прямые а и b, принадлежащие плоскости Г, пересекут плоскость W
в точках 1 и 3 соответственно, которые и определят прямую c(1,3), по которой пересекаются плоскости Г и W.
a Ì Г; а х W = 1; b Ì Г; b x W = 3;
Точки 1 и 3 определяют прямую с.
Окружность n основания конической поверхности D и прямая c принадлежат плоскости W, и поэтомупересекаются в точках 4 и 5. Прямые S4 и S5 принадлежат плоскости Г, так как
точка SÌ Г; точка 4 Ì с и точка 5 Ì с, а с Ì Г.
Одновременно заключаем, что прямые S 4 и S 5 являются образующими конической поверхности D, так как точка S является вершиной конической поверхности D, а точки 4 и 5 принадлежат окружности n основания этой поверхности. На основании вышеизложенного делаем вывод, что плоскость общего положения Г пересекает коническую поверхность по образующим S 4 и S 5.
Но прямая а принадлежит плоскости Г по определению плоскости Г. Из чертежа видно, что горизонтальная проекция а 1 прямой а пересекается с горизонтальными проекциями S 1 4 1 и S 1 5 1 прямолинейных образующих S 4 и S 5 конической поверхности D. Из вышесказанного мы знаем, что прямые а, S 4 и S 5 принадлежат одной плоскости Г.
Из этого мы делаем вывод, что точки А и В (А = а х S 4; B = a x S 5) являются точками пересечения прямой а с конической поверхностью D.
Часть прямой а между точками А и В на обеих проекциях будет невидимой как находящаяся «внутри» конической поверхности D. Определение видимости остальных частей проекций а 1 и а 2 прямой а, как не представляющее особой сложности, предлагается выполнить самостоятельно.
