Примеры. 1. - монотонно убывающая и ограниченная

1 2 3 4 5 6 7

1. - монотонно убывающая и ограниченная;

2. : 2, , ,…, ,…- монотонно возрастающая и неограниченная;

3. -1, 1, -1, 1…- немонотонная и ограниченная;

4. -1, , -, ,…- немонотонная и ограниченная;

5. 0, , , , , , ,…

Изобразим последовательность (пример 5) на числовой прямой (рис.5.1.2)

Рис. 5.1.2

На рис.5.1.2 видно, сто с ростом n члены последовательности приближаются к единице, т.е. величина становятся все меньше и меньше. Иными словами, если рассмотреть любую сколь угодно малую окрестность числа а=1, в этой окрестности накапливается бесчисленное множество членов последовательности , начиная с некоторого номера N.

Определение. Число а называется пределом числовой последовательности, ,если для любого, сколь угодно малого числа, найдется такой номер N(зависящий от ), что для всех членов последовательности с номерами n> N,

выполняется неравенство <

В этом случае записывают:

, n>N

Если последовательность имеет предел, она называется сходящейся, в противном случае - расходящейся.

Для пределов числовой последовательности имеют место следующие теоремы (свойства).

Теорема 5.1.1. Если последовательность имеет предел, то только один.

Доказательство. Пусть . Предположим, существует . По условию для >0 , <<по предположению для >0 n> <<

Пусть выбранные окрестности не пересекаются.

а- а а+ b- b b+

Рис.5.1.2

Если N=max ,то для n> N один и тот же член одновременно находится в двух разных окрестностях. Следовательно, если , то число b не может быть пределом данной последовательности.

Теорема 5.1.2. Предел постоянной величины равен самой постоянной.

Если считать, что , ,…, , то, начиная уже с первого члена последовательности (n≥1), все члены последовательности лежат в окрестности точки С (совпадают с числом С), т.е. .

Теорема 5.1.3. Предел положительной последовательности (переменной) неотрицательный; предел отрицательной последовательности (переменной) не положителен.

Доказательство. а) Пусть при >0 и . Предположим, что а<0. по определению предела для >0 , что для n>N <<. Но это означает, что существуют отрицательные члены последовательности, что противоречит условию. Следовательно, если >0, то .

а-δ а а+δ 0

б) Если <0, доказательство аналогично.

Теорема 5.1.4. Если и

Доказательство. Если >0 , n> выполняется условие<<. Если >0 , такой, что для n> выполняется условие <<. Предположим, a>b (рис.5.1.4)

n>n>

b- b b+ а- а а+ х

Рис.5.1.4

Если окрестности не пересекаются (всегда можно их выбрать такими), то для n>N =max , <, что противоречит условию. Значит, наше предположение неверно и .