2014-02-05
740
Определение. Функция 
называется бесконечно большой величиной при 
, если для любого, даже сколь угодно большого положительного числа М>0, найдется такое положительное число 
>0 (зависящее от М, 
), что для всех х, не равных 
и удовлетворяющих условию
<, будет верно неравенство
> М (5.3.9)
Запись того, что функция бесконечно большая при , следующая:
или 
при .
Это же определение можно представить в виде:
(-бесконечно большая величина при , или )
>0) 
>0) (
<) > М.
Если в приведенном определении > М (или <- М), то пишут 
(или 
).
Аналогично можно было определить понятие бесконечно большой величины при 
. Приведем его в краткой форме:
(- бесконечно большая величина при , или 
)
>0) 
>0) (
> S) > М.
Пример. Доказать, что функция 
является бесконечно при 
.
Выберем сколь угодно большое М>0.
>М, если 
<
, или 
<
. Действительно, найдется такое 
, что если <, то верно неравенство >М. Если М=1000, то 
Замечание 1. Не следует путать бесконечно большую переменную величину с очень большим, но постоянным числом М>0, ибо по мере приближения значений х к (при ) или по мере увеличения по модулю х (при ) в соответствии с неравенством (5.3.9) функция превзойдет это число М(по абсолютной величине).
Замечание 2. не следует путать понятия бесконечно большой величины и неограниченной величины. Всякая неограниченная функция при не всегда является бесконечно большой. В то время как бесконечно большая величина при всегда неограниченная величина.
