Основные теоремы о пределах

Теорема 5.4.2. Если в некоторой окрестности точки а(или при достаточно больших значениях х) функция заключена между двумя функциями и, имеющими одинаковый предел А при, то функция имеет тот же предел А.

Пусть при , . Это означает, что для любого >0 найдется такое число>0, что для всех и удовлетворяющих условию <будут верны одновременно неравенства

<, <

или

<<, <<.

Пусть . Так как по условию функция заключена между двумя функциями

то из неравенств следует, что<<, т.е. <.

А это означает, что ,(рис.5.4.2)

Рис.5.4.2

Пусть и - функция, для которых существуют пределы при : , .

Сформулируем основные теоремы о пределах.

1. Предел алгебраической суммы конечного числа функций равен такой же сумме пределов этих функций, т.е.

(5.4.3)

2. Предел произведения конечного числа функций равен произведению пределов этих функций

(5.4.4)

В частности, постоянный множитель можно выносить за знак предела:

3. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций (при условии, что предел делителя не равен нулю):

(5.4.5)

4. Если , , то предел сложной функции

(5.4.6)

Докажем в качестве примера свойство 5.4.4. По условию и , следовательно, на основании теоремы о связи бесконечно малых величин с пределами функций в соответствии с формулой , , где а (х) и - бесконечно малые величины при . Перемножая почленно оба неравенства, получаем

На основании свойств бесконечно малых последние три слагаемых представляют бесконечно малую величину при . Итак, функция представляет сумму постоянного числа А·В и бесконечно малой . На основании обратной теоремы о связи бесконечно малых величин с пределами функции это означает, что

Замечание. В теоремах о пределах предполагается существование пределов функций и , из чего следует заключения о значениях пределов суммы, произведения или частного функций. Но из существования предела суммы, произведения или частного функций еще не следует, что существуют пределы самих слагаемых, сомножителей или делимого и делителя.

Например, , но отсюда еще не следует существования пределов и . И действительно, в данном случае первого из этих пределов не существует.

Теоремы 5.4(1,2,3,4) не имеют места, если требования, указанные в этих теоремах, не выполняются.

Пусть , , при вычислении пределов сумм, произведений, частного можно прийти к выражениям вида , , , , , , . Такие выражения называются неопределенными(неопределенностями). Вычисление пределов в таких случаях сводится к раскрытию неопределенностей путем различных преобразований. Например, пусть и .