2014-02-05
1592
Для выяснения вопроса о существовании предела функции(числовой последовательности) использовать сформулированные выше определения, не всегда удобно. Бывает, что проще это сделать с помощью признаков существования пределов.
Теорема 5.4.1. (без доказательства). Если числовая последовательность 
монотонная и ограниченная, то она имеет предел.
Эту теорему можно представить в виде:
,т.е. при 
< М 
М>0
Возможны два случая:
1. последовательность монотонно возрастает, т.е. для 
выполняются условия 
<
и ограниченна сверху, т.е. 
такая, что для любого п < M
2. последовательность монотонно убывает и ограниченна снизу, т.е. >и для любого п > M.
Без доказательства продемонстрируем наличие предела на (рис.5.4.1)
Рис.5.4.1
Можно показать (используя формулу бинома Ньютона), что и следующие члены последовательности для 
также возрастают, т.е. данная последовательность монотонно возрастает.
Из формулы бинома Ньютона следует также, что любой член последовательности меньше трех: 
<3 т.е. последовательность - ограниченна сверху. На основании теоремы 5.4.1 следует, что существует 
этот пределобозначается символом " е " и называется "числом е".
е
(5.4.1)
Позже будет показано, что е =2,718281… является иррациональным числом.
"Число е "(число Эйлера, неперово число) играет весьма важную роль в математическом анализе. График функции у= е
получил название экспоненты. Широко используются логарифмы по основанию е, называется натуральными. Натуральные логарифмы обозначаются символом: 
Между десятичными и натуральными логарифмами имеет место такая связь: 
или 
