2014-02-02
2500
Статистическая обработка результатов косвенных измерений
Порядок статистической обработки результатов косвенных измерений можно представить следующим образом:
1. Статистическая обработка результатов прямых измерений и нахождение Ãi и S(Ã)i.
2. Расчет искомого значения ФВ (точечной оценки результата косвенных измерений)
Q = f(Ã1, Ã2,..., Ãn).
3. Определение оценки каждой частной погрешности с учетом ее весового коэффициента
EXi = ki S(Ã)I ,
где ki = дf/дÃi.
4. Определение оценки погрешности (среднего квадратического отклонения) результата косвенного измерения. Оценку погрешности результата косвенного измерения рассчитывают с учетом весовых коэффициентов частных погрешностей. При значимой стохастической связи оценка среднего квадратического отклонения (оценка погрешности косвенного измерения) рассчитывается с учетом коэффициента корреляции Rij (определяют традиционными статистическими расчетами)
____________________________
/ n n
SQi = √ Σ (EXi)2 + Σ Rij Ei Ej.
i =1 i,j =1
При практическом отсутствии корреляции между величинами, получаемыми в результате прямых измерений, что имеет место, например, в независимых измерениях длин для определения объема или длин и массы для расчета плотности
__________
/ n
SQi = √ Σ (EXi)2.
i =1
5. Определение значения коэффициента Стьюдента t в зависимости от выбранной доверительной вероятности Р и запись результата косвенного измерения в установленной форме
Q = t SQi, Р = 0,...
Результаты прямых и косвенных измерений должны отвечать требованиям обеспечения единства измерений, то есть в описании результата следует использовать узаконенные единицы физических величин и указывать оценки погрешностей. Информацию о единицах физических величин можно найти в нормативной документации (например, в ГОСТ 8.417), специальной и справочной литературе.
Стандартное определение единства измерений требует, чтобы погрешности были известны с заданной вероятностью, из чего следует:
· в описание результата входят только стохастически представляемые погрешности, значит, систематические составляющие по возможности должны быть исключены;
· неисключенные остатки систематической составляющей погрешности измерения могут входить в описание результата измерений как рандомизированные величины, значения которых соизмеримы со случайной составляющей погрешности измерения;
· если неисключенные остатки систематической составляющей погрешности измерения существенно меньше случайной составляющей, ими пренебрегают, но возможна (хотя и нежелательна) обратная ситуация, когда собственно случайная составляющая оказывается пренебрежимо малой по сравнению с неисключенной систематической составляющей.
Описание результата измерений должно осуществляться в одной из стандартных форм, регламентированных МИ 1317–86
Общая форма представления результата измерения в соответствии с требованиями МИ 1317–86 включает:
· точечную оценку результата измерения;
· характеристики погрешности результата измерения (или их статистические оценки);
· указание условий измерений, для которых действительны приведенные оценки результата и погрешностей. Условия указываются непосредственно или путем ссылки на документ, удостоверяющий приведенные характеристики погрешностей.
Из перечисления следует, что МИ 1317–86 требует включения либо «характеристик погрешности измерений», либо их статистических оценок. Под «характеристикой погрешности измерений» понимают их оценки, заимствованные из аттестованной или стандартизованной МВИ.
В качестве точечной оценки результата измерения при измерении с многократными наблюдениями принимают среднее арифметическое значение результатов рассматриваемой серии, полученное после исправления результатов наблюдений.
Характеристики погрешности измерений можно указывать в единицах измеряемой величины (абсолютные погрешности) или в относительных единицах (относительные погрешности).
Характеристики погрешностей измерений или статистические оценки:
· среднее квадратическое отклонение погрешности;
· среднее квадратическое отклонение случайной погрешности;
· среднее квадратическое отклонение систематической погрешности;
· нижняя граница интервала погрешности измерений;
· верхняя граница интервала погрешности измерений;
· нижняя граница интервала систематической погрешности измерений;
· верхняя граница интервала систематической погрешности измерений;
· вероятность попадания погрешности в указанный интервал.
Рекомендуемое значение вероятности Р = 0,95.
Качественные характеристики погрешностей включают аппроксимации функции плотностей распределения вероятностей или статистические описания этих распределений. Функцию плотностей распределения вероятностей погрешности измерений в соответствии с МИ 1317–86 считают соответствующей усеченному нормальному распределению, если есть основания полагать, что реальное распределение симметрично, одномодально, отлично от нуля на конечном интервале значений аргумента, и другая информация о плотности распределения отсутствует.
Если есть основания полагать, что реальное распределение погрешностей отлично от нормального, следует принимать какую-либо другую аппроксимацию функции плотностей распределения вероятностей. В таком случае принятая аппроксимация функции указывается в описании результата измерений, например: «трап.» (при трапециевидном распределении) или «равн.» (при равновероятном).
В описание состава условий измерений могут входить: диапазон значений измеряемой величины, частотные спектры измеряемой величины или диапазон скоростей ее изменений; диапазоны значений всех величин, существенно влияющих на погрешность измерений, а также, при необходимости, и другие факторы.
Требования к оформлению результата измерений:
· наименьшие разряды должны быть одинаковы у точечной оценки результата и у характеристик погрешностей;
· характеристики погрешностей (или их статистические оценки) выражают числом, содержащим не более двух значащих цифр, при этом для статистических оценок цифра второго разряда округляется в большую сторону, если последующая цифра неуказываемого младшего разряда больше нуля;
· допускается характеристики погрешностей (или их статистические оценки) выражать числом, содержащим одну значащую цифру, при этом для статистических оценок второй разряд (неуказываемый младший) округляется в большую сторону при отбрасывании цифры младшего разряда от 5 и более и в меньшую сторону при отбрасывании цифры меньше 5.
Примеры форм представления результатов измерений:
1. (8,334 ± 0,012) г; Р = 0,95.
2. 32,014 мм. Характеристики погрешностей и условия измерений по РД 50-98 – 86, вариант 7к.
3. (32,010…32,018) мм; Р = 0,95. Измерение индикатором ИЧ 10 класса точности 0 на стандартной стойке с настройкой по концевым мерам длины 3 класса точности. Измерительное перемещение не более 0,1 мм; температурный режим измерений ± 2 о С.
4. 72,6360 мм; Δн = – 0,0012 мм, Δв = + 0,0018 мм, Релей; Р = 0,95.
о
5. 10,75 м 3 /с; σ(Δ) = 0,11 м 3 /с, σ(Δс) = 0,18 м 3 /с, равн. Условия измерений: температура среды 20 о С, кинематическая вязкость измеряемого объекта 1,5·10 –6 м 2 /с.
В пятом примере не указано значение доверительной вероятности, что можно рассматривать как формальное несоответствие требованиям обеспечения единства измерений. Однако противоречие не принципиальное, а скорее кажущееся, поскольку переход к оценке границ областей рассеяния случайной и неисключенной систематической составляющих погрешности измерений требует выбора доверительной вероятности. Расчет осуществляется через коэффициент Стьюдента t, а его значение зависит от числа степеней свободы и от выбранной доверительной вероятности, которая должна быть одинакова для обеих составляющих (случайной и неисключенной систематической составляющих погрешности).
Можно предложить графическую интерпретацию результата измерений на числовой оси физической величины. Тогда для первого из приведенных примеров (8,334 ± 0,012) г; Р = 0,95 результат выглядит как показано на рисунке 8.2. Для указания доверительной вероятности проводим ось ординат (ось плотности вероятности р) из точки, соответствующей точечной оценке результата измерений, и строим в полученной системе координат кривую нормального распределения результатов или погрешностей измерений. Из рисунка видно, что для увеличения доверительной вероятности (заштрихованной площади) Р необходимо расширить зону между границами погрешности измерений ± Δ. При фиксированном значении σ этого можно добиться только за счет увеличения коэффициента Стьюдента t.
| р Р – Δ + Δ Х = 8,334 Q, г – t σ + t σ – 0,012 +0,012 Рисунок 8.2 – Графическая интерпретация результата измерений при нормальном распределении случайной погрешности |
Зона между зафиксированными предельными значениями Х – Δ и Х + Δ с выбранной доверительной вероятностью Р накрывает истинное значение измеряемой физической величины, но поскольку фактически результат измерений представлен не в виде единичного значения, а как числовой интервал, принято говорить о «неопределенности измерений». В этом термине под неопределенностью измерений фактически подразумевают не только то, что результат измерений фиксируется интервалом значений, а не конкретной точкой на оси, но и то, что неизвестной (неопределенной) остается координата истинного значения. В более широком смысле можно говорить также и о неопределенности «закона распределения» результатов многократных наблюдений при измерении конкретной физической величины.
Комплексирование случайных и «неслучайных» погрешностей
Погрешность измерения D всегда является интегральной погрешностью, которая образуется в результате объединения составляющих погрешностей, что формально записывают следующим образом:
D = D1* D2 *D3 *D4,…*Dn
где * – знак объединения (не сложения), поскольку погрешности разного характера объединяют с использованием разных математических операций.
Оценки составляющих погрешности измерения обычно получают на основе принципа суперпозиции (независимости проявления и действия погрешностей друг от друга), после чего полученные оценки комплексируют.
Комплексирование погрешностей может включать в себя «объединение» случайных и «неслучайных» величин. Если случайные и систематические погрешности будут соизмеримы, их можно оценивать по отдельности, но можно также поставить и решить задачу их комплексирования. Для оценки комплексного влияния на результат измерений значения частных погрешностей следует «объединить». Очевидно, что возможна необходимость объединения случайных составляющих погрешностей и систематических составляющих в разных сочетаниях, для чего применяют различные методы комплексирования.
Состав погрешностей при измерении диаметра номинально цилиндрической поверхности измерительной головкой на стойке в нормальных условиях можно представить в следующем виде:
D = Dприб* Dмер *Dм *Dинт,
где Dприб – погрешность измерительной головки со стойкой;
Dмер – погрешность концевой меры длины (погрешности блока концевых мер длины), на которую настраивали прибор;
Dм – методическая погрешность;
Dинт – погрешность отсчитывания показаний измерительной головки.
Две первые погрешности (Dприб и Dмер) являются инструментальными составляющими, третья (Dм) – методическая составляющая погрешности, а последняя (Dинт) – субъективнаясоставляющая погрешности. Две части инструментальной составляющей погрешности обусловлены методом измерений (поскольку метод сравнения с мерой предусматривает применение меры в явном виде, обязательно присутствует погрешность меры или мер). При малых значениях измерительного перемещения погрешности, вносимые стойкой, пренебрежимо малы по сравнению с погрешностью измерительной головки, следовательно, в качестве первой составляющей достаточно представить основную погрешность измерительной головки.
Если прибор настраивают на блок концевых мер, погрешности блока можно разложить на составляющие, которые включают погрешности каждой меры, входящей в блок, и погрешности притирки мер в блоке.
Методическая погрешность в случае отсутствия упрощений и допущений в ходе измерительного преобразования, может быть обусловлена только некорректной идеализацией объекта измерений. Например, при измерении седлообразной детали в среднем сечении, результат определяется не толщиной детали, а высотой образующей над базовой плоскостью. У детали, годной по размеру, эта составляющая погрешности может достигать половины допуска размера, что с позиций обеспечения точности совершенно недопустимо.
Погрешность «условий» не включена в перечень (ее априори признают пренебрежимо малой, если измерения проводят в нормальных условиях).
Субъективнаясоставляющая погрешности, которая в рассматриваемой МВИ может включать в себя погрешности манипулирования объектом измерений при поиске «точки возврата» и погрешности отсчитывания показаний измерительной головки. Погрешности манипулирования объектом измерений при должной квалификации оператора, как правило, считают пренебрежимо малыми. Погрешности отсчитывания показаний с устройства шкала-стрелка измерительной головки могут включать погрешности из-за параллакса и погрешности округления, либо интерполирования доли деления на глаз. Погрешности из-за параллакса в измерительных головках при соответствующей квалификации оператора можно считать пренебрежимо малыми, а погрешности округления результата в наиболее неблагоприятных случаях (стрелка приблизительно в середине между делениями) могут доходить до половины цены деления прибора. Погрешности интерполирования доли деления «на глаз» у опытного оператора составляют не более 0,1 цены деления прибора, а при неудачных эргономических свойствах прибора не превышают 0,2 цены деления.
Для комплексирования («объединения») погрешностей недостаточно иметь их количественные оценки, поскольку методы комплексирования случайных составляющих и «неслучайных» (систематических) могут существенным образом различаться. Следовательно, при решении конкретной задачи комплексирования необходимо дать качественную оценку каждой из составляющих погрешностей измерения и в соответствии с их характером применять соответствующие методы их «объединения».
Значения систематических составляющих объединяют алгебраически (с учетом знака):
Ds= D s1 + D s2 + (– D s3) +D s4,…
При этом возможна частичная или полная компенсация систематической погрешности за счет составляющих, имеющих противоположные знаки.
Значения некоррелированных случайных составляющих объединяют геометрически (квадратически под корнем квадратным):
_________________
σΣ = √ σ12 + σ22 + σ32 + …,
где σΣ – комплексная оценка средней квадратической погрешности,
σi – оценка частной средней квадратической погрешности.
При наличии отличающихся весовых коэффициентов зависимость трансформируется к виду
_______________________
σΣ = √ k12σ12 + k22 σ22 + k32σ32 + …,
где σΣ – комплексная оценка средней квадратической погрешности,
σi – оценка частной средней квадратической погрешности,
ki – весовойкоэффициент частной погрешности.
В случае если оценки погрешностей представлены их предельными значениями с одинаковой доверительной вероятностью, зависимости приобретают вид:
_______________________
∆Σ = √ k12∆12 + k22 ∆22 + k32∆32 + …,
где ∆Σ – комплексная оценка границы случайной погрешности,
∆i – оценка границы частной случайной погрешности,
ki – весовойкоэффициент частной погрешности.
При равенстве весовыхкоэффициентов частных погрешностей зависимость упрощается и записывается в виде
_________________
∆Σ = √ ∆12 + ∆22 + ∆32 + …,
где ∆Σ – комплексная оценка границы случайной погрешности,
∆i – оценка границы частной случайной погрешности или
При оценках границ погрешностей в обязательном порядке следует указывать значение выбранной доверительной вероятности, которое должно быть одинаковым для всех составляющих.
Для комплексирования систематических и случайных составляющих используют несколько отличающихся подходов, которые можно условно назвать:
· оценка максимального значения интегральной погрешности;
· комплексирование с учетом знаков составляющих погрешностей;
· оценка погрешности с учетом вероятностного характера случайной составляющей.
Поскольку в последующих примерах речь идет об оценке границ погрешностей, для случайной составляющей следует в обязательном порядке указывать значение выбранной доверительной вероятности.
Оценку максимального значения интегральной погрешности определяют, складывая предельные значения погрешностей по модулю
о
D = ± (|D s| + |D|).
Следует отметить, что этот вариант является «перестраховочным», поскольку предусматривает наихудшее сочетание систематической составляющей с предельным значением случайной, вероятность появления которого не очень велика.
Комплексирование с учетом знаков составляющих погрешностей осуществляют в тех случаях, когда неисключенный остаток систематической составляющей имеет фиксированный знак, например, погрешности формы и расположения поверхностей всегда являются существенно положительными величинами. В таком случае может быть использована зависимость вида
о
D = D s ± D,
которая пригодна при симметричном распределении случайной составляющей погрешности.
Для оценки интегральной погрешности с учетом вероятностного характера случайной составляющей используют «понижающий коэффициент», значения которого могут изменяться в довольно широких пределах. Традиционно принимаемые значения этого коэффициента (0,7…0,8). Тогда при значении «понижающего коэффициента» 0,7 возможный вид зависимости
о
D = ± 0,7(|D s| + |D|).
Кроме расчета с использованием предложенных зависимостей, объединение комплексной случайной погрешности, представленной средним квадратическим значением, с интегральной неисключенной систематической погрешностью, представленной предельным значением (границей) можно осуществлять в соответствии с ГОСТ 8.207
______________
σΣ = √ σ2случ +D s 2 /3.
Зависимостью можно пользоваться в случае, когда отношение оценок неисключенной систематической и случайной составляющих находится в пределах
0,8 < D s / σслуч < 8,0.
Приведенная зависимость позволяет получить комплексную оценку «средней квадратической погрешности», объединяющую собственно случайную составляющую и квазислучайную составляющую, возникающую при рандомизации неисключенных остатков систематических погрешностей. При этом для аппроксимации распределения неисключенных остатков систематических погрешностей использовано равновероятное распределение как наихудший из возможных вариантов.
В описание результата измерений при таких расчетах обязательно включают значение выбранной доверительной вероятности.
