Плоское (двухосное) напряженное состояние. Напряжения sa и ta, действующие на площадке a, вызываются действием как напряжения s1, так и напряжения s2

Напряжения sa и ta, действующие на площадке a, вызываются действием как напряжения s1, так и напряжения s2. Применяя принцип суперпозиции, получим выражения , , где - напряжения, вызванные действием s1, - напряжения, вызванные действием s2. Согласно уравнениям (4.1), (4.2) , Для определения и следует учесть, что нормаль na образует с направлением s2 угол b = 90 – a. Согласно правилам знаков для углов, он будет отрицательным. Тогда

Пусть по боковым граням элементарного параллелепипеда действуют главные напряжения s₁ и s₂. Определим напряжения на произвольной наклонной площадке, расположенной под углом a к главной (рис. 4. 8).

Рис. 4.8

τβ

С учетом этих преобразований , .

Тогда (4.6)

(4.7)

Напряжения на площадке, перпендикулярной к рассмотренной, найдем по формулам (4.3), (4.4) учитывая, что угол между напряжением σ₁ и нормалью n_β равен , а между

напряжением σ₂ и этой же нормалью – α.

(4.8)

(4.9)

При сложении выражений (4.6) и (4.8) подтверждается положение, что сумма нормальных напряжений на взаимно перпендикулярных площадках – величина постоянная,

т. е. .

Для определения наибольшего и наименьшего значения нормального напряжения вычислим первую производную от s_a по a выражения (4.6) и приравняем ее к нулю:

. (4.10)

Уравнение (4.10) удовлетворяется при a=0° и a=90°. Согласно (4.6) при a=0°, а при a=90° . В обоих этих случаях t_a=0, следовательно, нормальные напряжения s₁ и s₂ принимают экстремальные значения на главных площадках.

Наибольшее значение касательных напряжений, как следует из формулы (4.7), будут при a = 45°, т.е.,: (4.11)