Закон парности касательных напряжений. Главные площадки, главные напряжения

Касательные напряжения связаны между собой определенной зависимостью, которая следует из условий равновесия параллелепипеда (рис. 4.2): Рассмотри первое уравнение равновесия: . Из него следует . Аналогично из уравнений получим , . Таким образом, , .

Эти соотношения носят название закона парности касательных напряжений: касательные напряжения по двум взаимно перпендикулярным площадкам равны по абсолютной величине и противоположны по знаку, т.е. касательные напряжения на двух взаимно перпендикулярных площадках направлены либо к линии пересечения этих площадок, либо от нее.

Таким образом, на гранях выделенного элемента имеем не девять, а только шесть независимых компонентов напряжений: s_x, s_y, s_z, t_xy, t_yz, t_zx.

Площадки, на которых нет касательных напряжений, называются главными, а нормальные напряжения на этих площадках – главными напряжениями (рис 4.4).

При изменении ориентации граней выделенного параллелепипеда меняются и напряжения, действующие на его гранях. При этом, как доказывается в теории упругости, можно провести такие три взаимно перпендикулярных площадки, на которых касательные напряжения будут отсутствовать.

Рис.4.4

Главные напряжения обозначаются s₁, s₂, s₃, при расстановке индексов следует выполнять соотношение s₁ ³ s₂ ³ s₃.

Это неравенство следует понимать в алгебраическом смысле. Пусть одно из главных напряжений равно нулю, другое растягивающее – 40 МПа, третье сжимающее – 140 МПа, тогда ,, .