Пограничный слой на теле вращения

Ограничимся рассмот­рением стационарного осесимметричного течения. Уравнения Навье—Стокса в этом случае имеет вид

;

; (2.141)

где - оператор Лапласа в цилиндрической системе координат.

Рис.2.7 Пограничный слой на теле вращения

При записи уравнений использована цилиндри­ческая система координат (r,, х) (рис. 2.7), од­нако в силу осевой сим­метрии в уравнениях от­сутствуют величины, за­висящие от . Пусть уравнение поверхности обтекаемого тела есть r=r_w(x), а внешняя граница пограничного слоя описывается уравнением .

Разность,очевидно, будет мало отличать­ся от толщины пограничного слоя в сечении х, которая измеряет­ся по нормали к образующей. Для внутренних точек погранично­го слоя введем координату «у», отсчитываемую по нормали к поверхности .

При x = const dr =dy, V_r=V_y. Поэтому дифференцирование по r можно заменить на дифференцирование по у. Кроме того, пред­положим, что . В силу этого в уравнении неразрывности (третье уравнение системы (2.141) rможно заменить на r_w и придать уравнению вид

(2.142)

Если произвести оценку членов в первых двух уравнениях системы (2.141) тем же способом, что и в плоском случае, то получим уравнение пограничного слоя на теле вращения:

(2.143)

где обозначено r= В системе (2.143) х является уже криволинейной координатой, отсчитываемой вдоль образующей от точки торможения. Однако вклад продольной кривизны в уравнения не учтен. Оценим погрешность, вносимую таким под­ходом. Пусть ускорение жидкой частицы в проекции на ось у равно а_у. Очевидно, кривизна может дать вклад в это ускорение, равный (— V_x²/R), где R — радиус продольной кривизны. Порядок этой величины O(V_X²/L). Следовательно, за счет кривизны будем иметь

Остальные слагаемые в первом уравнении имеют меньший поря­док О(V_x / L²). Введем средние значения скорости V_{x ср} и радиуса кривизны R_cp и проинтегрируем последнее уравнение

Таким образом, вновь получаем, что если /R_cp <<1, то р(у) = const. Однако это условие может и не выполняться, особенно в кормовой части.

Влияние поперечной кривизны отражает последний член урав­нения (2.143). Эта форма записи особенно важна для расчетов течения в кормовой области, где значения r могут быть очень малыми и необходимо учитывать взаимовлияние жидких частиц, двигающихся в различных меридиональных плоскостях. Вообще говоря, если толщина пограничного слоя становится соизмеримой с радиусом образующей, нужно использовать теорию толстого пограничного слоя, отличительной чертой которого является зави­симость давления от радиуса. Однако эта теория сложна и пока не получила применения в инженерной практике.

В классической постановке уравнение (2.143) записывается в более простой форме. Полагая rr, получим

т. е. обычную форму записи плоского пограничного слоя. Однако уравнение неразрывности сохраняет прежний вид (2.142).

Получим теперь интегральное соотношение импульсов осесим­метричного пограничного слоя. Перепишем уравнение выше в виде

а уравнению (2.142) придадим вид

Для удобства здесь обозначено V_x=u, V_y= . Вычитая из обе­их частей последнего уравнения левую и правую часть предыду­щего, найдем

Интегрирование данного соотношения по y дает

или

Здесь и - толщина вытеснения и толщина потери импульса, вычисленные тем же способом, что и для плоского погра­ничного слоя.

Если за основу взять систему (2.142), (2.143), то получим следующее интегральное соотношение импульсов:

или

где , - площадь вытеснения и площадь потери импульса соответственно: