Математическая модель течения вязкой несжимаемой жидкости

Приложение теоремы Лагалли.

Теорема Лагалли обладает замечательным свойством, поскольку позволяет анализировать силы и моменты в пространственных течениях. Правда, при этом возможности ограничены условиями применения метода особенностей.

Объясним парадокс Даламбера с точки зрения теоремы Лагалли. Для этого рассмотрим тело в равномерном потоке. Равномерный поток можно рассматривать как поток от источника, расположенного на , и стока равной мощности, расположенного на . Таким образом, тело будет испытывать равное по величине и противоположное по направлению силовое воздействие от источника и стока, т. е. суммарная сила будет равна нулю.

Другой подход к объяснению парадокса Даламбера состоит в следующем. Обтекание тела можно моделировать совокупностью источников и стоков, расположенных внутри тела. При этом суммарная мощность источников и стоков у тела с непроницаемыми стенками и постоянным объемом должна быть равна нулю. Но это сразу приводит к заключению, что

Парадокс нарушается, если тело находится в канале переменного сечения, скорость на оси которого постоянна по времени, но переменна вдоль оси. Тогда скорости в точках, где находятся источники и стоки, будут различными, а, следовательно, суммарная сила будет не равна нулю.

Парадокс нарушается и при обтекании тела в окрестности твердой стенки (дна). Наличие твердой стенки можно смоделировать отображением соответствующих особенностей. Например, если в окрестности твердой стенки находится источник, то при отображении симметрично ему будет расположен источник с другой стороны стенки. По теореме Лагалли эти источники будут притягиваться друг к другу. Соответственно тело, генерируемое источниками и стоками, в окрестности твердой стенки будет испытывать силу, направленную к стенке.

Существуют обобщения теоремы Лагалли на случай нестационарных движений тела жидкости. Однако, этот случай будет проанализирован в гл. IV другим методом, а именно методом присоединённых масс.

В вязкой жидкости в отличие от идеальной касательные напряжения при отличны от нуля. Таким образом, тензор напряжений элементарной жидкой частицы имеет общий вид:

. (2.102)

Для установления конкретного вида выражений при полезно обратиться к двухмерному слоистому течению, рассмотренному еще Ньютоном:

. (2.103)

В общем случае пространственного движения вязкой жидкости

формулируется обобщенный закон Ньютона, устанавливающий линейную связь между тензором напряжений и тензором скоростей деформации :

, (2.104)

где и — некоторые скаляры; — символ Кронекера.

Примем дополнительную гипотезу, что

, (2.105)

где р — давление. Таким образом, в вязкой жидкости давление в данной точке есть среднее арифметическое трех нормальных напряжений, приложенных к трем взаимно перпендикулярным площадкам в данной точке среды. Справедливость сделанной гипотезы подтверждается практикой.

Итак, в ньютоновской вязкой несжимаемой жидкости справедлив обобщенный закон (,)

(2.106)

или в развернутой форме

Уравнению сохранения количества движения (2.71) теперь можно придать более детализованный вид:

. (2.107)

При условии отсутствия разрывов возможно записать дифференциальную форму закона сохранения количества движения:

(2.108)

Заметим, что процессы в капельной жидкости протекают практически при постоянной температуре. Поэтому коэффициент динамической вязкости можно вынести из-под знака дифференцирования. Как и ранее, продифференцируем в левой части произведения, стоящие в скобках, и используем дифференциальную форму уравнения сохранения массы. В итоге найдем

. (2.109)

Здесь учтено, что

так как при , при i = k.

Рассмотрим последний член в правой части (2.109). Положим k = 1. Тогда в развернутом виде будет (множитель пока опустим):

++=

= +=

==.

С учетом проделанных выкладок, а также путем введения коэффициента кинематической вязкости запишем окончательный вид уравнения (2.109):

(2.110)

или в векторной форме:

. (2.111)

Уравнения (2.109), (2.110), (2.111) называются обычно уравнениями Навье - Стокса.

Если к системе (2.110) добавить уравнение неразрывности

или div V =0, (2.112)

то получим систему из четырех уравнений для нахождения четырех скалярных функций , , , . Таким образом, система замкнута! Векторному уравнению (2.111) можно придать иную форму, напоминающую уравнение Громеки — Лэмба:

rot rot , (2.113)

но содержащее дополнительное слагаемое, отражающее влияние вязкости. Сформированная математическая модель отражает слоистые упорядоченные течения жидкости, которые называются ламинарными.

Граничным условием на неподвижных твердых стенках теперь является требование обращения в нуль полной скорости

, (2.114)