2014-02-02
562
Кинетическая энергия твердого тела.
Кинетическая энергия твердого тела равна
(4.2)
Это выражение можно заменить следующим:
, 
, (4.3)
где 
– компоненты скоростей тела; 
– матрица, характеризующая инерционные свойства тела.
Запишем кинетическую энергию жидкости в виде
,
или для случая потенциального течения
.
Имея в виду первую формулу Грина, получим:
(4.4)
Таким образом, нахождение значения кинетической энергии вызванного течения жидкости свелось к вычислению интеграла по поверхности, ограничивающей жидкость. Причём подынтегральная часть содержит значения потенциала и его производной по нормали к поверхности.
Жидкость может быть ограничена поверхностью движущегося тела 
, неподвижными твердыми стенками (например, дном), свободной границей и, кроме того, должна существовать внешняя поверхность, расположенная на бесконечном удалении.
Ограничимся сначала рассмотрением случая движения тела в безграничной жидкости. В уравнении (4.1) тогда пропадет слагаемое, содержащее производную по обобщенной координате. Поверхность 
, ограничивающая жидкость, будет состоять из поверхности тела и поверхности сферы бесконечно большого радиуса 
:
Оценим значение кинетической энергии жидкости на поверхности .
В пространственных течениях согласно поведению потенциала в пространстве произведение 
будет убывать как 
. Площадь же сферы растет пропорционально 
. Таким образом, кинетическая энергия на бесконечном удалении будет стремиться к нулю.
В плоских течениях произведение будет изменяться как 
, а площадь цилиндрической поверхности будет расти пропорционально 
. Таким образом, кинетическая энергия жидкости в этом случае будет стремиться к бесконечности. Затруднение устраняется, если потребовать, чтобы источниковый член отсутствовал, и течение на бесконечности описывалось диполем. Отсутствовать должен и член, описывающий течение от вихря, так как при 
на бесконечности величина 
не исчезает.
Таким образом, будем считать, что течение обладает однозначным потенциалом, исчезающим на бесконечности, так что 
. Поэтому
