Свойства циклических кодов

ЦК обладают всеми свойствами СЛБК, а также имеют, ряд дополнительных свойств.

К основным свойствам ЦК относятся:

1. Вес разрешенной кодовой последовательности w_кп≥d₀;

2. Вес проверочной части разрешенной кодовой по­следовательности w_пр.ч.≥d₀-1;

3. Сдвиг кодовых символов разрешенной кодовой после­довательности влево или вправо на один, два,..., (k-1) символ вновь приводит к разрешенной кодовой последовательности. Ес­ли же при циклическом сдвиге всегда будет получатся кодовая последовательность нового кода, то такой код будет называться квазициклическим; данные коды имеют несколько большую корректирующую способность и сложность реализации, чем ЦК;

4. Разрешенная кодовая последовательность без ошибок Fp'(x ) при делении на полином Р(х)дает нулевой остаток ≠0 при наличии ошибок;

5. Сумма по модулю два символов двух, трех,..., (k-1)разрешенных кодовых последовательностей вновь образует разрешенную кодовую последовательность;

6. Двучлен вида х^п+1 должен делиться на порождающий полином Р(х) без остатка и результат дает проверочный полином h(x) =(х^п+1)/Р(х. Произведение h(x)*P(x)=х ⁿ+1=0, а пото­му полиномы h(x) и Р(х) рассматривается как ортогональные и операция деления (х^п+1)/Р(х) используется в основе построения алгоритмов декодирования;;

7. Двучлен ЦК вида х^п-1 можно разложить на множители

Пример:. Разложить двучлен х^п-1=х⁷-1 на множители.

Двучлен х⁷-1 раскладывается на следующие мно­гочлены:

Из данного выражения видно, что можно образовать шесть делителей для двучлена х⁷-1, путем комбинирования полученных трех сомножителей. Следовательно, для двучлена x⁷-1 существует шесть разных двоичных линейных ЦК со следующими образующими полиномами и параметрами:

– простой код: l, k, n и t _исп (t_исп - кратность исправленных ошибок) - измеряются в двоичных символах;

ЦК, задаваемые образующими полиномами Р₁(х), P₂(x) и Р₃(х), относятся к классу ЦК Хэмминга. ЦК, задаваемые поли­номами Р₄(х), P₅(x) и Р₆(х), являются двойственными кодами Хэмминга и называются кодами максимальной длины.

Корректирующая способность групповых СЛБК зависит от вида (структуры) образующе­го полинома, т.е. от количества ненулевых членов данного по­линома и его максимальной степени l=n-k. В соответствии с этим можно отметить следующие свойства ЦК:

а) обнаруживающих ошибки:

- ЦК, образующий полином которого имеет более одного члена и не имеет общего множителя х, обнаруживает все одиноч­ные ошибки и любое нечетное число ошибок. Простейшим обра­зующим полиномом ЦК, обладающими данными свойствами, является полином вида Р(х)=1+х;

- ЦК, образующий полином которого имеет вид р(х)=1+х^с, обнаруживает любое нечетное число ошибок. До­казательство этого утверждения становится ясным, если обра­зующий полином представить в следующем виде

б) обнаруживающих и корректирующих ошибки: в виду того, что полином Р(х)=1+х^с нацело делится на 1+х, то согласно предыдущему свойству ЦК обеспечивает обнаружение любого нечетного количества ошибок;

- ЦК, образующий полином которого имеет максималь­ную степень l=п-к, обнаруживает любой пакет ошибок длинойи менее двоичных символов или корректирует паке­ты ошибок длинойдвоичных символов;

- количество пакетов длиной l+1, не обнаруживаемых ЦК, составляетчасти всех пакетов (l +1) двоичных симво­лов.

Количество пакетов ошибок длиной более l+1, необнаруживаемых ЦК, составляет часть всех пакетов ошибок длиной от (l+2) до n двоичных символов включительно.