Дифференциальное уравнение теплопроводности. Математическая постановка задачи определения температурного поля в каком-либо теле требует описания баланса тепла каждой точки этого тела

Математическая постановка задачи определения температурного поля в каком-либо теле требует описания баланса тепла каждой точки этого тела. Это описание обычно задаётся в дифференциальной форме и приводит к тому или иному уравнению теплопроводности.

Выведем это уравнение при следующих допущениях:

1) твердое тело однородно и изотропно, т.е. теплофизические характеристики материала не зависят от координат, температуры и времени;

2) внутри тела источники и стоки тепла отсутствуют;

3) в процессе теплопередачи не происходят фазовые превращения;

4) деформации, вызванные изменением температуры, пренебрежимо малы по сравнению с размерами тела;

5) температуры на элементарных площадках будем считать равномерно распределёнными.

Рассмотрим изменение теплосодержания элементарного объёма (рис.1.1).

Рис. 1.1 Схема к выводу дифференциального уравнения теплопроводности

Пусть на грани ABCD температура распределена равномерно и имеет некоторое значение . На противоположной грани A₁ B₁ C₁ D₁температура будет иметь значение . Будем считать, что в направлении осей y и z тепло не распространяется.

За время к площадке A₁ B₁ C₁ D₁ подведено

Учитывая, что запишем

(1.8)

За это же время через площадку ABCD отводится теплоты.

(1.9)

В рассматриваемом объёме остаётся

(1.10)

Если положить, что тепло распространяется также по осям Y и Z, то по аналогии можно записать

. (1.11)

Общее же количество тепла для объёмной задачи

или

(1.12)

Разделив левую и правую части выражения (1.12) на , после преобразования получим

(1.13)

где − коэффициент температуропроводности [] характеризует скорость выравнивания температуры в неравномерно нагретом теле. Выражение (1.13) − представляет собой линейное дифференциальное уравнение в частных производных и является классической записью дифференциального уравнения теплопроводности для неподвижной среды.

Для линейного дифференциального уравнения применим принцип суперпозиции, который заключается в том, что общее решение дифференциального уравнения можно получить путём алгебраического суммирования частных решений, когда на тело действуют несколько независимых источников теплоты.

Для двух − или одномерного поля уравнения (1.13) преобразуется к следующему виду

(1.14)