double arrow

Однородные функции затрат на управление

Определение 7.13. Функция затрат менеджера , зависящая от мер, называется однородной, если существует такое неотрицательное число , что для любого положительного числа A и любого набора мер выполняется тождество . Число называется степенью однородности функции затрат.

Таким образом, при однородной функции затрат пропорциональное увеличение мер групп всех исполнителей в A раз приводит к росту затрат менеджера в раз.

Определение 7.14. r-мерным симплексом Dr называется такое множество r-мерных векторов x=(x1,…,xr) с неотрицательными компонентами, что x1+…+xr=1. Элементы такого симплекса будем называть r-пропорциями или просто пропорциями.

Легко видеть, что если менеджер имеет r непосредственных подчиненных, то вектор является r-пропорцией. Будем в этом случае говорить, что менеджер делит подчиненную ему группу исполнителей между своими непосредственными подчиненными в пропорции x.

Для поиска оптимального дерева в случае функций затрат, зависящих от мер, существуют численные алгоритмы. Исследование результатов их работы при различных однородных функциях затрат позволяет выделить ряд общих свойств, которыми обладают оптимальные деревья, формализованных в определении 7.15.

Определение 7.15. Дерево называется (r, x)-однородным, если каждый его менеджер имеет ровно r непосредственных подчиненных и делит между ними подчиненную ему группу исполнителей в пропорции x=(x1,…,xr). Число r называется нормой управляемости однородного дерева.

Пример 7.8. На рисунке 7.17 изображены три однородных дерева. Для каждого сотрудника на рисунке изображена мера управляемой им группы. Иерархия а) – это 3-дерево с пропорцией x=(1/3, 1/3, 1/3). Дерево имеет симметричный вид (однородные деревья всегда симметричны, если исполнители имеют одинаковые меры). Иерархия б) – это 2-дерево с пропорцией (1/2, 1/2), а иерархия в) – 2-дерево с пропорцией (1/3, 2/3).

В силу дискретности задачи для заданного множества исполнителей может не существовать ни одного однородного дерева (кроме веерной иерархии, которая всегда является однородной). В то же время, если однородное дерево существует, его затраты легко вычисляются.

Утверждение 7.6. Пусть заданы множество исполнителей N={1,…, n} смерами и однородная степени функция затрат менеджера . Если существует однородное дерево H с нормой управляемости r и пропорцией x=(x1, …, xr), то его затраты определяются выражением:

(7.6)

где суммарная мера всех исполнителей.

Нижняя оценка затрат оптимального дерева.Имея аналитическое выражение для затрат однородного дерева, точно так же можно ставить вопрос о том, какое из всего множества однородных деревьев было бы оптимальным, если бы оно существовало. Для того чтобы найти такое наилучшее однородное дерево, необходимо минимизировать выражение (7.6) по всем возможным нормам управляемости r и пропорциям x. Соответственно, пара (r, x), на которой достигается этот минимум, даст параметры наилучшего однородного дерева, а, подставив их в формулу (7.6), получим его затраты.

Понятно, что при фиксированном множестве исполнителей N={1,…, n} с мерами топ-менеджер любого дерева будет иметь не более n непосредственных подчиненных, поэтому при поиске наилучшего однородного дерева минимизировать достаточно по всем r от 2 до n.

Кроме того, каждый непосредственный подчиненный топ-менеджера будет управлять, по меньшей мере, одним исполнителем, и, значит, мера управляемой им группы будет не меньше минимальной из мер исполнителей. Следовательно, каждая из компонент xi, i=1, …, r пропорции любого однородного дерева будет не меньше чем .

Для произвольного неотрицательного числа обозначим через ту часть симплекса Dr, на которой каждая компонента вектора больше или равна .

Тогда при фиксированной функции затрат минимальные затраты однородного дерева определяются количеством n и мерами исполнителей и задаются следующим выражением:

(7.7)

где .

Поскольку – компактное множество, минимумы в формуле (7.7) достигаются при достаточно слабых условиях на функцию затрат (достаточно потребовать ее полунепрерывности снизу на симплексе), и ниже считается, что они достигаются.

Эмпирически установлено, что оптимальная (на множестве всех деревьев) древовидная иерархия «стремится» быть однородным деревом. В связи с этим возникает предположение о том, что, если для заданного множества исполнителей существует наилучшее однородное дерево (с нормой управляемости и пропорцией ), то оно и будет оптимальным на множестве всех деревьев. На самом деле оказывается, что справедлив даже более сильный результат.

Утверждение 7.7. Пусть заданы множество исполнителей N={1,…, n} смерами и однородная степени функция затрат менеджера . Тогда затраты оптимального дерева будут не меньше, чем CL(N). Иначе говоря, функция CL(N) является нижней оценкой затрат оптимального дерева.

Если ставится задача поиска оптимального r-дерева, то есть дерево, каждый из менеджеров которого имеет не более r подчиненных, то нижняя оценка его затрат будет определяться затратами наилучшего однородного r-дерева, то есть однородного дерева с нормой управляемости не более чем r.

Легко видеть, что затраты наилучшего однородного r-дерева задаются формулой:

(7.8)

Таким образом, справедливо следующее утверждение:

Утверждение 7.8. В условиях утверждения 7. 6 затраты оптимального r-дерева будут не менее CLr(N).

Описанная нижняя оценка затрат оптимального дерева имеет широкий спектр применения. Например, оказывается, что при большом количестве исполнителей она обычно достаточно точно аппроксимирует затраты оптимального дерева.


Сейчас читают про: