Уравнения объектов в переменных состояния

Примеры объектов

Статические, астатические и неустойчивые объекты

Системы автоматического регулирования, содержащие объекты с положительным или отрицательным самовыравниванием, а также статические регуляторы, являются статическими.

Системы автоматического регулирования, содержащие объекты с нулевым самовыравниванием и статические регуляторы, являются астатиче­скими.

При положительном самовыравнивании объект регулирования устой­чив даже в том случае, когда имеются отказы в системе регулирования. При отрицательном самовыравнивании объект регулирования неустой­чив, и его функционирование без системы регулирования невозможно. Поэтому отказы в системах регулирования с неустойчивыми объектами недо­пустимы. Нулевое самовыравнивание снижает устойчивость в системах регулирования и требует применения корректирующих устройств.

Число всяческих объектов автоматического регулирования и управления великое множество. Простейшие объекты, в которых регулируется один параметр: различные напорные баки, в которых регулируется уровень жидкости; теплообменники с регулируемой температурой; системы трубопроводов, в которых регулируется давление; различные газо- и нефте – перекачивающие станции, в которых регулируется расход и т.д. Следующая группа объектов с двумя регулируемыми параметрами: револьверная головка токарного станка с ЧПУ, когда положение ее определяется координатами продольной и поперечной подачи; система плоского фрезерования, когда положение заготовки определяется продольной и поперечной подачей приводов управления положением стола. При регулировании пространственного положения самолета, движущихся по земле объектов управление осуществляется по трем координатам. Объекты типа автоматических линий, различных химических и прочих реакторов относятся к объектам с множеством регулируемых параметров.

При исследовании объектов в некоторых случаях может интересовать не сама выходная величина, а некоторая промежуточная величина, называемая переменной состояния. Рассмотрим объект при таком представлении (рис.6.1).

Рис.6.1. Объект управления, с обозначением переменных состояния

На рисунке у₁,у₂,…у_n – выходные величины, х₁, х₂,…х_n – переменные состояния, u₁, u₂,….u_m – управляющие воздействия.

В общем случае для нелинейного объекта с использованием переменных состояния его поведение можно описать системой дифференциальных уравнений первого порядка вида:

dx₁/dt = f₁(x₁,x₂,…x_n, u₁, u₂,…u_m,t)

…………………………………… (6.1)

dx_n/dt = f_n(x₁,x₂,…x_n, u₁, u₂,…u_m,t)

Для линейного объекта система уравнений (6.1) может быть записана в виде:

dx₁/dt = а₁₁х₁ + а₁₂х₂ + ….+ а_1n + b₁₁u₁ + b₁₂ u₂ +…. + b_1mu_m

_{……………………………………………………………………………………}

dx_n/dt = a_n1x₁ + a_n2x₂ +….+a_nn + b_n1u₁ + b_n2u₂ + ….+ b_nmu_m

или в матричной форме

,

где матрица столбец с переменными состояния есть вектор состояния, с переменными управления – вектор управления, матрица с коэффициентами а_ii – матрица состояния и с коэффициентами b_ij – матрица управления.

Последнее уравнение можно записать в векторной форме:

.

Для того чтобы связать выходную величину объекта с переменными состояния, последнее уравнение необходимо дополнить уравнением . В этом уравнении С -прямоугольная матрица коэффициентов, связывающая выходную величину с переменными состояния. Последнее уравнение действительно для линейного объекта.