Критерий устойчивости Найквиста. Критерий позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по АФЧХ разомкнутой системы

Критерий позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по АФЧХ разомкнутой системы.

Различают три случая применения критерия Найквиста.

Разомкнутая система устойчива. В этом случае для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой системы при изменении ω от 0 до ∞ не охватывала точку с координата­ми (-1, j0).

Разомкнутая система на границе устойчивости. Характеристическое уравнение такой разомкнутой системы имеет нулевые или чисто мнимые корни.

Если нулевых корней υ,то АФЧХ при ω= 0 дополняется дугой бесконечно большого радиуса начинающейся на положительной веществен­ной полуоси на угол по часовой стрелке.

Если есть пара чисто мнимых корней (в знаменателе частот­ной передаточной функции имеется множитель ), то АФЧХ при частоте дугой бесконечно большого радиуса дополняется на угол -180º (по часовой стрелке).

В обоих случаях для устойчивости замкнутой системы необхо­димо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая частотная характерис­тика разомкнутой системы при изменении ω от 0 до ∞, допол­ненная на участке разрыва дугой бесконечно большого радиуса, не охватывала точку с координатами (-1, j0).

Разомкнутая система неустойчива. Характеристическое уравнение такой системы имеет l корней с положительной вещественной частью.

Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы при изменении ω от 0 до ∞вектор, начало которого нахо­дится в точке с координатами (-1, j0), а конец на амплитудно-фазовой частотной характеристике разомкнутой системы, повернулся в положительном направлении (против часовой стрелки) на угол .

Характеристический полином разомкнутой системы, кроме корней с вещественной частью (положительной или отрицательной), может иметь нулевые и чисто мнимые корни. Тогда на участках разрыва АФЧХ должна быть дополнена дугой бесконечно большого радиуса.

При сложной форме АФЧХ разомкнутой системы удобнее приме­нять другую формулировку критерия Найквиста, которая использует правило переходов. Переход АФЧХ при увеличении ω через отрезок вещественной оси от -1 до - ∞сверху вниз считают положительным, а снизу вверх - отрицательным. Если АФЧХ начинается на указанном отрезке при ω = 0 или заканчивается при ω =∞, то считается, она совершает полперехода.

Критерий формулируется так: замкнутая система устойчива, если разность между числом положительных и отрицательных переходов АФЧХ разомкнутой системы через отрезок вещественной оси от -1 до -∞ равен l /2 при изменении частоты от 0 до -∞.

Таким образом, определение устойчивости замкнутой системы по критерию Найквиста производится в следующей последовательности:

1. Определяется устойчивость разомкнутой системы по кри­териям Рауса, Гурвица или Михайлова.

2. Если разомкнутая система неустойчива, то по углу пово­рота годографа Михайлова по формуле (7.7), по таблице Рауса или по характеристичес­кому уравнению определяют число корней с положительной веществен­ной частью.

3. Строят АФЧХ разомкнутой системы.

4. Используя один из вариантов критерия, определяют устой­чивость замкнутой системы.