Если возможные значения принадлежат всей оси х, то

Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величиныопределяется, как и для величины дискретной, равенством

Замечание 1. Можно доказать, что свойства математического ожидания и дисперсии дискретных величин сохраняются и для непрерывных величин.

Замечание 2. Легко получить для вычисления дисперсии более удобные формулы:

Нормальное распределение

Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величин, которое описывается плотностью

Мы видим, что нормальное распределение определяется двумя параметрами: a и σ. Достаточно знать эти параметры, чтобы задать нормальное распределение.

Покажем, что вероятностный смысл этих параметров таков:

а есть математическое ожидание, σ—среднее квадратическое отклонение нормального распределения.

а) По определению математического ожидания непрерывной случайной величины,

грирования равны старым, получим

Первое из слагаемых равно нулю (под знаком интеграла нечетная функция; пределы интегрирования симметричны относительно начала координат). Второе из слагаемых

Итак, Μ (Χ) = a, т. е. математическое ожидание нормального распределения равно параметру а.

б) По определению дисперсии непрерывной случайной величины, учитывая, что Μ (Χ) = a, имеем

грирования равны старым, получим

Следовательно,

Итак, среднее квадратическое отклонение нормального распределения равно параметру

Замечание 1. Общим называют нормальное распределение с произвольными параметрами а и (> 0)

Нормированным называют нормальное распределение с параметрами а =0 и = 1.

Плотность нормированного распределения

Эта функция табулирована.

Замечание 2.Функция F (х) общего нормального распределения

Где Z=(x-a)/

а функция нормированного распределения

Функция f₀ (х) табулирована. Легко проверить, что

Замечание 3. Вероятность попадания нормированной нормальной величины Х в интервал (0, х) можно найти, пользуясь

и, следовательно, в силу симметрии φ (x) относительно нуля

легко получить, что

Действительно,

Нормальная кривая

График плотности нормального распределения называют нормальной кривой (кривой Гаусса). Исследуем функцию

методами дифференциального исчисления.

1. Очевидно, функция определена на всей оси х.

Рис. 1

2. При всех значениях х функция принимает положительные значения, т. е. нормальная кривая расположена над осью Ох.

3. Предел функции при неограниченном возрастании х

ось Ох служит горизонтальной асимптотой графика.

4. Исследуем функцию на экстремум. Найдем первую производную:

Следовательно, при х==а функция имеет максимум.

5. Разность х — а содержится в аналитическом выражении функции в квадрате, т.е. график функции симметричен относительно прямой х = а.

6. Исследуем функцию на точки перегиба. Найдем вторую производную:

производная равна нулю, а при переходе через эти точки она меняет знак (в обеих этих точках значение функции

На рис. 1 изображена нормальная кривая при а == 1

Влияние параметров нормального

распределения на форму нормальной кривой

Выясним, как влияют на форму и расположение

ном направлении оси x на а единиц масштаба при а > О или в отрицательном направлении при а < 0, получим график f (χ—а). Отсюда следует, что изменение величины параметра а (математического ожидания) не изменяет формы нормальной кривой, а приводит лишь к ее сдвигу вдоль оси Ох: вправо, если а возрастает, и влево, если а убывает.

По-иному обстоит дело, если изменяется параметр σ (среднее квадратическое отклонение). Как было указано в предыдущем параграфе, максимум дифференциальной

ната нормальной кривой убывает, а сама кривая становится более пологой, т. е. сжимается к оси Ох: при

вершинной·» и растягивается в положительном направлении оси Оу.

Подчеркнем, что при любых значениях параметров а и s площадь, ограниченная нормальной кривой и осью х, остается равной единице (см., второе свойство плотности распределения).

Рис.8.

На рис. 8 изображены нормальные кривые при различных значениях σ и а==0. Чертеж наглядно иллюстрирует, как изменение параметра σ сказывается на форме нормальной кривой.

Заметим, что при а = 0 и σ == 1 нормальную кривую

2. Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины. Вычисление вероятности заданного отклонения.

Уже известно, что если случайная величина Χ задана плотностью распределения f (x), то вероятность того, что Χ примет значение, принадлежащее интервалу (α, β), такова:

Пусть случайная величина Χ распределена по нормальному закону. Тогда вероятность того, что Χ примет значение, принадлежащее интервалу (α, β), равна

Преобразуем эту формулу так, чтобы можно было пользоваться готовыми таблицами. Введем новую пере-

Таким образом, имеем

Пользуясь функцией Лапласа

окончательно получим

Пример. Случайная величина Χ распределена по нормальному закону. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой величины соответственно равны 30 и 10. Найти вероятность того, что Χ примет значение, принадлежащее интервалу (10, 50).

Решение. Воспользуемся формулой (*). По условию a=10

По таблице приложения 2 находим Φ (2) == 0,4772. Отсюда искомая вероятность

Вычисление вероятности заданного отклонения

Часто требуется вычислить вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины Χ по абсолютной величине меньше заданного положительного числа δ, τ. е. требуется найти вероятность

Заменим это неравенство равносильным ему двойным неравенством

Пользуясь формулой (*) (см. § 5), получим

Приняв во внимание равенство

(функция Лапласа—нечетная), окончательно имеем

В частности, при а == О

На рис. 3 наглядно показано, что если две случайные величины нормально распределены и а = 0, то вероятность принять значение, принадлежащее интервалу (— δ, δ),