Устойчивость ЦАС

Частотные характеристики

Для получения частотной переда­точной функции необходимо в выражении передаточной функции сделать подстановку z = ехр(jωT). Так, например, может быть получена частотная передаточная функция разомкнутой системы

W(e^jωT) = W(z) | _{z = exp(jωT)}

Частотные характеристики (амплитудно-фазовая, амплитудная, фазовая и др.) в этом случае оказываются периодическими функциями частоты с периодом 2π/T.

Для построения частотных характеристик можно использовать относительную частоту v = w/T и рассматривать изменение ее от - p до p. Тогда учитывая симметричность АФЧХ относительно вещественной оси можно ограничиться изменением относительной частоты от 0 до p.

Для получения частотных характеристик и, в частности, логарифмических частотных характеристик более удобным явля­ется использование псевдочастоты.

Понятия псевдочастоты рассмотрены в лекции 11 (п.11.3.1), где получено выражение (11.4) для перехода от z – переменной к псевдочастоте l.

Устойчивость замкнутой цифровой системы определяется видом корней характеристического уравнения. На р -плоскости корни устойчивой системы должны лежать в левой ее половине. Переход к комплексной переменной z = exp (рТ) отображает левую полуплоскость во внутреннюю часть круга единичного радиуса с центром в начале координат z -плоскости. Поэтому в устойчивой системе корни характеристического урав­нения (знаменателя передаточной функции замкнутой системы, приравненного нулю)

l+W(z) = 0. (14.6)

должны лежать внутри круга единичного радиуса, т.е. быть по модулю меньше единицы | z_v | < 1 для v = 1, 2,.. к, где к — порядок знаменателя передаточной функции замкнутой системы.

Использование известных критериев устойчивости для уравне­ния (14.6) невозможно. Поэтому целесообразно от комплексной величины z перейти к комплексной величине w= (z - l)/(z + 1). Эта операция отображает внут­реннюю часть круга единичного радиуса на левую половину w-плоскости, что позволяет использовать известные алгебраические критерии устойчивости для характеристического уравнения

1+W

При переходе к частотной передаточной функции W(exp(jwT)) или W*(jl) подстановкой w =(jlT) /2 могут использоваться частотные критерии устойчивости, например критерий Найквиста.