Разберем свойства определителей.
Замену строк матрицы на ее столбцы назовем операцией транспонирования и обозначим через .
Свойство 5.1. Определитель матрицы не меняется при ее транспонировании.
Доказательство. . Упорядочив сомножители в каждом слагаемом по возрастанию номеров строк, получим , где g обратная подстановка к f. Поскольку их произведение четная подстановка, то четность f и g совпадают и . Когда f пробегает все подстановки, то g пробегает все подстановки. От подстановки слагаемых сумма не меняется, поэтому .
Свойство 5.2. При перестановке двух строк определитель матрицы изменит знак.
Доказательство. Пусть матрица B получена из матрицы A перестановкой строк с номерами i и j. Транспозицию (i-j) обозначим через . Имеет место равенство . Выразим определитель матрицы B через элементы матрицы A . Учитывая равенство и тот факт, что когда f пробегает всё множество подстановок , то тоже пробегает все множество подстановок выводим требуемое свойство.
Свойство 5.3. Если матрица имеет две одинаковые строки, то ее определитель равен 0.
|
|
Доказательство. При подстановке одинаковых строк матрица не меняется, а значит, не изменится её определитель. По доказанному ранее, определитель должен поменять знак. Выполнение этих условий возможно в единственном случае, определитель равен нулю.
Свойство 5.4. Определитель не изменится, если к строке прибавить другую строку умноженную на число.
Доказательство. Пусть матрица B получена из матрицы A прибавлением к строке i строки j, умноженной на число c. Выразим определитель матрицы B через элементы матрицы A . Раскроем скобки и подставим слагаемые, получим . Сумма является определителем матрицы, у которой две строки равны (I и j), и, значит, равна нулю. Таким образом, .
Свойство 5.5. Определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов.
Доказательство. Пусть матрица A имеет верхнее треугольный вид, т.е при i<j. Определитель матрицы равен . Если , то , поэтому в сумме ненулевое слагаемое только при . Поскольку , то аналогично рассуждая, получаем . И так далее. В результате, сумма содержит только одно ненулевое слагаемое, соответствующее тожественно подстановке, и, значит . Если матрица имеет нижнее треугольный вид, то транспонированием приведём её к верхнее треугольному виду, а потом применим Свойство 5.5.
Поскольку при транспонировании определитель матрицы не меняется, а преобразования со строками становятся преобразованиями со столбцами, то тем самым установлено
Свойство 5.6 Определитель матрицы
1. изменит знак при перестановке столбцов
2. равен нулю, если имеется два одинаковых столбца
|
|
3. не изменится при прибавлении к столбцу другого столбца, умноженного на число.