На низких частотах

Схемы замещения пассивных элементов

1)

Резистор 2) реальная индуктивная катушка

3) реальный конденсатор

Идеальные источники энергии

1. идеальный источник ЭДС – источник, напряжение на зажимах которого не зависит от тока.

внешняя характеристика u

R_i – внутреннее сопротивление

источника R_i=0

i

2. идеальный источник тока – источник, ток которого не зависит от напряжения на его зажимах.

G_{(проводимость)}=1/R G_i=0 u

R_i=¥

i

J

Основные законы электрических цепей

1. Закон Ома

а) для пассивного участка цепи:

u ₁₂= iR; I=u₁₂/R

б) для активного участка цепи:

j

j3=0

₂=j₃- e; j₁=j₂+ iR (ток от большего потенциала к меньшему) u₁₃= j₁-j₃= iR-e;

- закон Ома для активного участка цепи с источником ЭДС

i+j=i_R i=I_R-j=

Обобщенный закон Ома для обобщенного участка цепи:

2. Законы Кирхгофа

1-й закон Кирхгофа:

1) Алгебраическая сумма токов в угле равна нулю.

Правило знаков: токи, втекающие в узел берутся со знаком «-», а вытекающие со знаком «+». ПРИМЕР: -i₁-i₂+i₃+i₄-i₅-i₆=0

2) Сумма токов втекающих в узел равна сумме токов из узла вытекающих:

ПРИМЕР: i₁+i₂+i₅+i₆=i₃+i₄

(согласное включение)

UВd =IR2-E2

R_э=

U_Вd

- режим потребителя IR₂>E₂

^КЗ

I

- генераторный режим E₂>IR₂

хх

Методы преобразования электрических цепей

1) Последовательное соединение элементов.

2) Параллельное соединение элементов.

3) Смешанное последовательно-параллельное соединение элементов.

4) Преобразование треугольника сопротивлений в звезду и наоборот.

5) Преобразование n – параллельных ветвей в одну.

J_i=E_i/R_i

J_i=E_iG_i

J_э=å J_i = G_э=

E_Э=J_э/G_э=J_эR_э

6) Перенос источника ЭДС.

Схемы эквивалентны. Проверка II – закона Кирхгофа, записанный для любого контура 1 и 2 схемы.

6) Перенос источника тока.

Методы анализа разветвленных цепей

1. Метод непосредственного использования законов Кирхгофа.

Ветвей – 3; узлов – 2.

1) Количество уравнений, составляемых по закону Кирхгофа равно число ветвей минус число ветвей с источником тока: n=в-в_и в_и=0 => n=3

2) Произвольно указываем направление токов в ветвях.

3) Число независимых уравнений, составляемых по I – закону Кирхгофа n₁=y-1 –I₁+I₂+I₃=0

4) Число независимых уравнений, составляемых по II закону Кирхгофа n_II=n-n_I => n_II=2. Выбираем независимые контуры (контуры, включающие хотя бы одну новую ветвь). Произвольно указываем направление обхода контура. Записываем уравнение по второму закону Кирхгофа. I₁R₁+I₃R₃=E₁;

I₂R₂-I₃R₃= -E₂

5) Решаем систему уравнений, находим неизвестные токи. Если значение токов получилось отрицательным, то на схеме меняем его направление на противоположное.

Метод наложения

(рекомендуется применять для цепей с малым количеством источников 2¸3)

Считаем, что каждый источник действует независимо от других. Рассчитываем токи, вызванные действием каждого источника в отдельности (частичные токи). Результирующий ток определяется как алгебраическая сумма частичных токов.

;

;

; ;

Метод контурных токов

Количество уравнений по этому методу равно числу уравнений, составляемых по II - закону Кирхгофа.

N_кт=N_II=N-N_I. Контурные токи – расчетные токи, текущие по всем ветвям выбранного контура. Действительные токи в ветвях находятся как алгебраическая сумма контурных токов. Направление контурных токов и направление обхода контура выбирается произвольно. Для каждого контура записывается уравнение по II – закону Кирхгофа.

D - главный определитель системы уравнений.

D_nK – алгебраическое дополнение определителей, которое получается вычеркиванием n – ой строки, к – го столбца и умножением полученного минора на (-1)^п+К.

; ; .

Метод узловых потенциалов

Используется для цепей с большим количеством ветвей и малым количеством узлов. Число уравнений по этому методу, равно числу уравнений, составляемых по I – закону Кирхгофа.

п_уп=у- 1=3; j₄=3;

Записываем уравнение по I – закону Кирхгофа. Для 1, 2, 3 узлов:

«1» -I₂+I₁+I₄-I₅+I₆=0

«2» -I₁+I₂+I₃-J₂=0 (1)

«3» J₂-I₃-I₄+I₇-J₁=0

Каждый ток расписываем по обобщенному закону Ома: I₁=(j₁-j₂+E₁)G₁; I₂=(j₂-j₁)G₂; I₃=(j₂-j₃+E₃)G₃; I₄=(j₁-j₃-E₄); I₅=(-j₁+E₅)G₅; I₆=j₁G₆; I₇=j₃G₇.

Подставляем токи из системы 2 в систему 1. Раскрывая скобки, приводим подобные и получаем следующую систему.

- сумма проводимости ветвей сходящихся в n – м узле.

G_пк – сумма проводимостей ветвей, соединяющих п – й и к – й узел, взятая со знаком «-». G₁₂=G₂₁=-(1/R₁+1/R₂); G₂₃=G₃₂=-(+1/R₃); G₁₃₌G₃₁=-1/R₄.

I_nn – узловой ток. Равен алгебраической сумме произведений ЭДС на проводимость ветви и сумме токов источников тока.

«+» ставится, если ЭДС или источник тока направлен к п – му узлу.

I₁₁=-E₁G1+E₄G₄+E₅G₅; I₂₂=J₂-E₃G₃+E₁G₁; I₃₃=J₁-J₂+E₃G₃-E₄G₄

Входные и взаимные проводимости ветвей

В цепи только один источник, выделяем ветвь с источником.

; - контурные токи.

;- взаимная провод. к-й и i-й ветви.

Физический смысл: входная проводимость численно равна току в этой ветви, если в эту же ветвь включен источник, ЭДС которого равен 1В (т.е. это реакция ветви на включение одного источника ЭДС).

G_ki – численно равна току в к – й ветви, если в i – ю ветвь включен источник, ЭДС которого равен 1В.

Теорема обратимости

Ток в к – й ветви, вызываемый действием ЭДС, находящейся в i – й ветви, будет равен току в i – й ветви, если этот источник будет находиться в к – й ветви. I_i=G_iiE_i I_k(1)=G_kiE_i.

E_i=E_k; I_k=E_kG_kk; I_i(2)=E_kG_ik=E_iG_ik

, т.к. G_ki=G_ik

Реакция на источник будет одинакова.

Теорема компенсации

В электрической цепи без изменения величины тока можно заменить сопротивление эквивалентным источником ЭДС, направление которого противоположно направлению тока т.е.

E1=IR1

E1=IR1 <=>

1) IR+IR₁=E

2) IR=E-E₁

IR=E-IR₁

Метод эквивалентного генератора

(метод эквивалентного источника, метод активного двухполюсника, метод холостого хода хх и короткого замыкания кз)

Рекомендуется использовать, если необходимо рассчитать ток только в одной ветви.

Ток в выделенной ветви численно равен отношению напряжения холостого хода этой ветви к сумме сопротивлений ветви и входного сопротивления двухполюсника со стороны выделенной ветви.

Используем метод наложения и заменяя схему двумя.

I’=0 (источник компенсировал напряжение на зажимах активного двухполюсника)

I=I’+I”=I”; .

Rbxab

Замечание: 1) U _авхх - напряжение между точками а и в в режиме хх данной ветви (I_x=0) 2) При определении R_bxab источники *** дитируются и в схеме остаются только их внутренние сопротивления.