Прогнозирование состояний объекта на основе теории непрерывных цепей Маркова

В процессе эксплуатации переход объекта из одного состо­яния в другое происходит в случайные заранее неизвестные моменты времени. Описание состояний такого объекта произ­водится при помощи аппарата непрерывных цепей Маркова.

Как и в предыдущих случаях, состояния являются фиксиро­ванными, сумма вероятностей которых равна единице, т. е. имеется полная группа событий ∑ P_i(t) = 1, где n — количество дискрет­ных состояний.

Задача состоит в том, чтобы для любого момента времени определить вероятности состояний, т. е. Р₁(t), …, Р_n (t).

Введем вместо вероятностей переходов Р_ij плотности вероят­ностей f_ij.

Для малых интервалов времени Δt можно считать, что

или P_ij(Δt) = f_ijΔt

Если f_ij не зависит от времени, то процесс называют одно­родным с непрерывным временем, если f_ij меняются во времени, то процесс называют неоднородным с непрерывным временем.

Вероятности состояний можно определить, если известен размеченный граф состоянии.

Рассмотрим процедуру определе­ния вероятностей состояний на при­мере системы, заданной размеченным графом рис. 2.9.

Рис. 2.9. Размеченный граф системы с дискретными со­стояниями и непрерывным временем

Найдем вероятность того, что систе­ма не вышла из состояния S_i за время Δt. Система могла задержаться в сос­тоянии S_i с вероятностью P₁₁(t+Δt), могла перейти в состояние S₂ с вероят­ностью f₁₂Δt, могла восстановиться за счет состояния S₃, т. е. прибавить зна­чение вероятности, равное Р₃(t)*f₃₁Δt. Обобщая можно записать

но

тогда

или

Устремив Δt→0, получим в пределе

Аналогично составим дифференциальные уравнения для дру­гих состояний, в результате получим систему уравнений

Полученную систему называют системой уравнений Колмого­рова. Решая ее при нулевых начальных условиях, т. е. при t = 0, P₁(0) = 1, P₂(0) = … = P₄(0) = 0, определяют вероятно­сти состояний системы.

Для нахождения прогнозируемого времени, при котором вероят­ности состояний соответствуют допустимым значениям, следует решить уравнения

Заметим, что значения прогнозируемого времени для различ­ных состояний исследуемого объекта в общем случае различно.

Рис. 2.10. Граф состояний системы, вытянутый в цепочку

Иногда можно использовать предельные состояния вероятно­стей, которые получают при t→∞. При этом приведенная выше система уравнений Колмогорова примет вид

Решив алгебраическую систему уравнений, находят предель­ные вероятности состояний.

Состояния системы могут быть представлены размеченным графом, вытянутым в цепочку (рис. 2.10). Методика определе­ния вероятностей состояний остается прежней.