Математические модели точности

Точность является одним из основных свойств качества. Количественно она оценивается ошибкой (погрешностью) или величиной отклонения параметров от их номинальных значе­ний. Возможные отклонения параметров определяются допус­ком, т. е. заранее установленным опытом или расчетом, грани­цами изменения параметров изделия, при которых оно способно выполнять свои функции в соответствии с назначением.

Вопросы допусков наиболее полно разработаны в приборостроении для механизмов и механических устройств. Основоположником теории точности в этой области является акаденик Н. Г. Бруевич. Менее всего теория точности разработана для электронной аппаратуры. Это объясняется тем, что элект­ронная аппаратура появилась сравнительно недавно, а ее эле­ментная база, которая в значительной мерс определяет точность, изменяется очень быстро.

Теория точности решает следующие задачи: изучает причины возникновения ошибок, разрабатывает методы анализа и контроля точности; разрабатывает методы повышения точности.

Решение основных задач точности осуществляется через анализ точности параметров элементной базы и выходных характеристик узлов или устройств, имеющих самостоятельное целевое назначение.

Кратко остановимся на характеристике допусков, одновре­менно классифицируя их по месту назначения. Различают арбитражные, производственные, эксплуатационные и ремонт­ные допуски (рис. 1.12).

Арбитражный допуск δ_а — это допуск, установленный тех­ническими условиями или стандартами для параметра изготав­ливаемой или разрабатываемой аппаратуры. Такой допуск иногда называют эскизным. Устанавливается он заказчиком, разработчиком или заводом-изготовителем. Указывается значе­ние арбитражного допуска в эскизном проекте, технических условиях (ТУ) или в техническом проекте. Этот допуск кор­ректируется в процессе изготовления и испытаний. Часто его устанавливают экспериментальным путем.

Рис. 1.12. График,поясняющий соотношения межд допусками

Производственный допуск δ_п опре­деляется производственно-технологи­ческой документацией для параметра изготовляемой аппаратуры или эле­мента. Он корректируется в соответ­ствии с опытом производства. Допуск устанавливается заводом-изготовите­лем или разработчиком, он имеет «за­пас надежности» на неучтенные фак­торы. Производственный допуск обес­печивается арбитражным допуском в зависимости от допусков элементной базы.

Эксплуатационный допуск δ_Э устанавливается инструкцией по эксплуатации для параметра эксплуатируемой аппаратуры. Назначается он только для параметров, проверяемых при экс­плуатации, и должен обеспечить показатель назначения. Уста­навливается эксплуатационный допуск разработчиком, заводом-изготовителем или эксплуатирующей изделие организацией.

Иногда эксплуатационный допуск подразделяют на эксплуа­тационно-контрольный δ_эк и эксплуатационно-профилактиче­ский δ_эп-

Ремонтный допуск δ_p — это допуск, устанавливаемый техническими условиями на ремонт для параметра ремонтируемой аппаратуры. Устанавливается он заводом-изготовителем или эксплуатирующем организацией.

Все перечисленные допуски предназначены для обеспечения основных функциональных показателей качества, т. е. показа­телей назначения, устанавливаемых тактико-техническими тре­бованиями. Для вычислительной аппаратуры это будет, напри­мер, точность вычислений, быстродействие и т. д. Часто основ­ные функциональные показатели и показатели назначения употребляются как равнозначные, имеющие один и тот же смысл.

Ранее отмечалось, что допуски устанавливаются для пара­метров. Параметры, в свою очередь, делятся на выходные и первичные. Выходные параметры характеризуют целевое назна­чение изделия и количественно определяют показатели назна­чения.

Первичные параметры — это параметры, определяемые эле­ментами конструкции и в своей совокупности в конечном итоге формирующие выходной параметр и его допуск.

Кроме приведенной ранее классификации допусков можно привести еще одну классификацию по расположению границ допусков. По этой классификации различают:

двусторонний допуск — это допуск, обе границы которого «а» и «б» находятся в конечной области распределения пара­метра;

односторонний—если граница «а» или «в» находится в бес­конечности;

симметричный — если поле допуска расположено симметрич­но относительно номинального значения;

несимметричный — если «а»≠«в», но номинальное значение параметра лежит внутри поля допуска, т. е. между «а» и «в>.

Параметры элементов и деталей, выпускаемых промышлен­ностью, обычно определяются не законами распределения и не числовыми характеристиками, а допусками на изделие. Взаимо­связь между числовыми характеристиками, законом рассеяния параметров и допусков легко установить. Предположим, что известна плотность распределения параметра f(x) (рис 1.13). Площадь, характеризующая вероятность отбраковки изделия по выходу их параметров за нижнюю границу допусков, составля­ет Р_вых(δ_н). Площадь, характеризующая вероятность отбраковки изделий по выходу их параметров за верхнюю границу допуска, составляет Р_вых(δ_в).

В реальных условиях обычно поле допуска и поле рассеяния параметра совпадают, а сам допуск при установившемся техно­логическом процессе больше 3σ. Поле допуска равно 2δ, поле рассеяния параметра — 2Е, номинальное значение параметра — х_н, а середина поля допуска — х_с, которая в рассматриваемом случае совпадает с х_н.

При оценке качества функционирования аппаратуры по допускам на параметры, теория точности и надежности слива­ются. Особенно это слияние очевидно при анализе постепенных отказов.

В основе оценок точности изделий лежат измерения, поэто­му необходим свод определенных правил и аппарат обработки результатов измерений. Этими вопросами занимается матема­тическая статистика.

Введем некоторые понятия и определения, которые встре­тятся при изложении материала. Назовем полную систему элементов изделий или чисел, подлежащих исследованиям, генеральной совокупностью. Часть генеральной совокупности, отобранной для исследований, называют выборкой. Следова­тельно, выборка характеризуется объемом, который должен быть таким, чтобы выборка была представительной, а ее оцен­ка — состоятельной, т. е. довольно полно характеризующей свойства генеральной¹ совокупности.

О представительности и состоятельности выборки судят по оценке, т. е. по той величине, которая получена после обработ­ки результатов измерений.

Выборочная оценка считается состоятельной, а выборка пред­ставительной в том случае, если вероятность того, что разность между выборочным математическим ожиданием и теоретическим

Рис. 1.13. Функция плотности распределения параметра

Рис. 1.14. График плотности распределения математического ожидания

его значением меньше некоторой наперед выбранной величины е, стремится к единице P[(m_x-m_T)]<ε→1, m_х — выборочное математическое ожидание; m_Т — теоретическое значение математи­ческого ожидания; ε—заранее установленная величина.

О несмещенности оценки судят также по математическому ожиданию. Если оно равно оцениваемой величине, то система­тическая ошибка отсутствует.

За меру эффективности оценки принимают ее дисперсию. При наличии нескольких оценок более эффективной считается та, дисперсия которой меньше.

При организации выборки всегда существует ограничение на ее объем, поэтому возникает задача о достаточности объема выборки. В зависимости от ее объема выборочное математиче­ское ожидание будет различным. Можно определить вероят­ность попадания математического ожидания в заданный интер­вал +ε, -ε, называемый доверительным. Математическое ожи­дание для выборок различных объектов распределяется с опре­деленной плотностью (рис. 1.14).

Для нормального закона плотности распределения лг_Ху зна­чение вероятности попадания математического выборочного ожидания в заданный интервал составит

Следовательно, задача свелась к получению функции рас­пределения f(m_x) в зависимости от количества изделий, отби­раемых для проверки, а затем к определению вероятности попадания фактического математического ожидания в заданный интервал с использованием функции Лапласа Ф(ε/δ_х).

Прежде чем перейти к рекомендациям по формированию выборок, остановимся на некоторых оценках точности по ГОСТ 16304—74 для конкретных экземпляров продукции.

1. Коэффициент точности К_тп, представляющий собой отношение среднего квадратического отклонения а исследуемого параметра к величине поля допуска δ, т. е. К_тп=σ/δ.

2. Коэффициент точности К_тδ.., представляющий отношение абсолютной погрешности параметра к полю его допуска К_тδ=Δx_i/δ.

3. Коэффициент точности К_тн, представляющий собой отношение абсолютного отклонения параметра от его номинального значения к номинальному значению X_iH Ктн=Δx_i/X_iH, или Ктн=(X_iн-x_iфакт)/X_iн, где x_i — абсолютное отклонение значения измеряемого параметра от выборочного математического ожидания.

Задачи, которые возникают при измерениях и обработке результатов измерений включают ряд правил и рекомендаций. Приведем некоторые из них.

Организация отбора изделий для формирования выборки проводится с учетом следующих требований: отбор элементов случайный, при изменении конструкции или технологического процecca формируется новая генеральная совокупность, очередность поступления элементов на участок измерений не влияет на результат, т. е. она может быть произвольной.

Необходимый объем выборки зависит от имеющегося (на­копленного) статистического материала. При формировании выборки должны учитываться экономические соображения, но при этом достоверность сведений, получаемых при обработке результатов измерений, должна сохраняться. Обычно в выборке участвует 25 и более изделий.

Методы оценки точности аналоговых и дискретных (цифро­вых) устройств имеют существенные различия, поэтому рас­смотрим их раздельно.

Анализ точности аналоговых устройств может быть основан на анализе отклонений первичных параметров элементов, вхо­дящих в устройство с учетом известных функциональных свя­зей между отклонениями первичных и выходных параметров.

При анализе точности аналоговых устройств традиционно используют основное уравнение точности, поэтому ниже приве­дем его вывод.

Будем предполагать, что функциональная связь между первич­ными параметрами x_i и выходным параметром у известна: у=φ(x₁,x₂,…,x_n).

Для аналоговых устройств в качестве выходного параметра может быть принят коэффициент усиления, а в качестве x_i— параметры элементов, входящих в усилитель.

Сделаем допущение, что величины возможных отклонении первичных параметров значительно меньше их номинальных значений.

Предполагается также, что функция, устанавливающая связь между первичными и выходными параметрами, дифферен­цируема.

Первичные параметры имеют погрешности, обусловленные производственными факторами и изменяющимися условиями окружающей среды. Следовательно, выходной параметр тоже будет иметь отклонение от своего номинального значения, т. е. y=y_н+Δy.

Связь между отклонениями, выходного параметра и откло­нениями первичных параметров находится при помощи разло­жения функции у в окрестности номинальных значений в ряд Тейлора:

(1.8)

Где φ(x_1н,x_2н,…,x_nн) — номинальное значение выходного пара­метра; R — высшие составляющие разложения; ∂у/∂х_i=А_i — ко­эффициенты влияния или чувствительности.

Вычтем из левой и правой частей уравнения (1.8) у_н, ограни­чиваясь линейными членами, получим основное уравнение точно­сти в абсолютных отклонениях,

(1.9)

где Δх_i—отклонения i-го первичного параметра; Δу — абсолютная ошибка выходного параметра.

Домножим левую и правую части уравнения на 1/у_н, а затем домножим каждый член правой части на x_iн/х_iн, получим

Обозначим А_0i=А_i(x_iн/y_н), — относительный коэффициент влияния i-го параметра на результирующее отклонение; α_ix=Δx_i/x_iн — относительное отклонение i-го первичного параметра; α_у=Δy/y_н — относительное отклонение выходного параметра.

Следовательно, с учетом принятых обозначений будем иметь α_у=А₀₁α_1x+…+А_0nα_nx, или

Для получения более точной статистической величины по­грешности необходимо проделать N опытов и обработать результаты, т. е. получить математическое ожидание ошибки и ее дисперсию. Так, для абсолютной ошибки будем иметь

(1.10)

Сделав усреднение, получим

Сложив почленно слагаемые правой части (1.10), найдем ус­редненные значения

где j — номер опыта (эксперимента).

Следовательно, математическое ожидание отклонения выходного параметра составит

Аналогично определим дисперсию отклонения

Следовательно, результирующее значение дисперсии будет равно

Оценка точности дискретных (цифровых) устройств имеет особенности, заключающиеся в том, что отклонения и флюктуа­ции первичных параметров не влияют на работу дискретного устройства в том случае, если они не достигают некоторого порогового значения U_пор. И переводят его в другое состояние при достижении этого порогового значения.

Зависимость выходного напряжения U_вых дискретного устрой­ства от входного U_вх описывается следующим образом:

Значения U_пор зависят от ряда факторов в том числе и от конструктивных, обеспечивающих, например, тепловой режим. Если тепловой режим не стабильный, то U_пор принимает случайные значения (рис. 1.15), следовательно, для того чтобы устройство

Рис. 1.15. График плотности рас- пределения срабатываний дискретного устройства

было точным, необходимо выби­рать запускающий входной сиг­нал достаточной величины.

Дискретное устройство будем называть точным, если на каж­дый сигнал, поданный на его вход для перевода устройства в другое устойчивое состояние, оно устойчиво срабатывает. Зная f(U_пор), можно определить веро­ятность срабатывания устройства при входном сигнале U_BX или при любом другом его значении:

Очевидно, устройство будет точным при Р(U_вх> U_пор)→1.