Выбор измерительных средств по допустимой

Таблица 4

Р	z_P/2	Р	z_P/2
0,90	1,65	0,97	2,17
0,95	1,96	0,98	2,33
0,96	2,06	0,99	2,58

2. Если в тех же документах случайные составляющие погрешности результата наблюдения представлены доверительными границами Î_i(P) при одной и той же доверительной вероятности P, то доверительную границу случайной погрешности результата измерения с однократным наблюдением при доверительной вероятности вычисляют по формуле

3. Если случайные составляющие погрешности результата наблюдения определяют предварительно в реальных рабочих условиях экспериментальными методами при числе наблюдений n_i <30, то:

где t - коэффициент Стьюдента, соответствующий наименьшему числу наблюдений n _min из всех n_i, можно найти в любом справочнике по теории вероятностей; S(x) - оценки СКО случайных составляющих погрешности результата наблюдения, определяемых по формуле (14). Если в эксперименте невозможно или нецелесообразно определить СКО составляющих случайной погрешности и определено сразу суммарное СКО, то в формуле (1.9) m₂ = 1.

4. Если случайные составляющие погрешности результата наблюдений представлены доверительными границами Î(P_i), соответствующими разным вероятностям Р _i, то сначала определяют СКО результата измерения с однократным наблюдением по формуле

где z_Pi/2 - значения функции Лапласа. Затем вычисляют Î(P) по формуле (8).

Для суммирования систематической и случайной составляющих погрешностей рекомендуется следующий способ:

Если Q(P)/S(x) < 0,8, (10)

то НСП Q(P) пренебрегают и окончательно принимают Î(P) за погрешность результата измерения D(P) при доверительной вероятности Р.

Если Q(P)/S(x) > 0,8, (11)

то пренебрегают случайной погрешностью и принимают D(P) = Q(P).

Если 0,8 £ Q(P)/S(x) £ 8, то доверительную границу погрешности результата измерений вычисляют по формуле

, (12)

где K_S(g) = ; .

2. Измерения с многократными наблюдениями. Обработку результатов в этом случае рекомендуется начать с проверки на отсутствие промахов (грубых погрешностей). Промах — это результат x_п отдельного наблюдения, входящего в ряд из n наблюдений, который для данных условий измерений резко отличается от остальных результатов этого ряда. Если оператор в ходе измерения обнаруживает такой результат и достоверно находит его причину, он вправе его отбросить и провести (при необходимости) дополнительное наблюдение взамен отброшенного.

При обработке уже имеющихся результатов наблюдений произвольно отбрасывать отдельные результаты нельзя, так как это может привести к фиктивному повышению точности результата измерения. Поэтому применяют следующую процедуру. Вычисляют среднее арифметическое результатов наблюдений х_i по формуле

. (13)

Затем вычисляют оценку СКО результата наблюдения как

. (14)

Находят отклонение v_п предполагаемого промаха x_п от :

v_п = | x_п - |.

По числу всех наблюдений n (включая x_п) и принятому для измерения значению Р (обычно 0,95) в любом справочнике по теории вероятностей находят z(P,n) — нормированное выборочное отклонение нормального распределения. Если v _п < z×S(x), то наблюдение x_п не является промахом; если v _п ³ z×S(x), то x_п — промах, подлежащий исключению. После исключения x_п повторяют процедуру определения и S(x) для оставшегося ряда результатов наблюдений и проверки на промах наибольшего из оставшегося ряда отклонений от нового значениям (вычисленного исходя из n - 1).

За результат измерения принимают среднее арифметическое [см. формулу (13)] результатов наблюдений х_i. Погрешность содержит случайную и систематическую составляющие. Случайную составляющую, характеризуемую СКО результата измерения, оценивают по формуле

В предположении принадлежности результатов наблюдений х_i к нормальному распределению находят доверительные границы случайной погрешности результата измерения при доверительной вероятности Р по формуле Î(P) = t(P,n) × S(), (15)

где t - коэффициент Стьюдента.

Доверительные границы Q(Р) НСП результата измерения с многократными наблюдениями определяют точно так же, как и при измерении с однократным наблюдением — по формулам (1.7) или (1.8).

Суммирование систематической и случайной составляющих погрешности результата измерения при вычислении D(Р) рекомендуется осуществлять с использованием критериев и формул (10 – 12), в которых при этом S(x) заменяется на S() = S(x)/.

3. Косвенные измерения. Значение измеряемой величины А находят по результатам измерений аргументов а₁,..., а_i,…a_m, связанных с искомой величиной уравнением

f(a₁,….a_i….a_m). (16)

Вид функции f определяется при установлении модели ОИ.

Косвенное измерение при линейной зависимости. Искомая величина А связана с m измеряемыми аргументами уравнением

где b_i - постоянные коэффициенты.

Предполагается, что корреляция между погрешностями измерений a_i отсутствует. Результат измерения А вычисляют по формуле

где — результат измерения a_i с введенными поправками. Оценку СКО результата измерения S(A) вычисляют но формуле

где — оценка СКО результата измерений .

Доверительные границы Î(Р) случайной погрешности при нормальном распределении погрешностей

, (17)

где t(P,n_эф) — коэффициент Стьюдента, соответствующий доверительной вероятности Р (обычно 0,95, в исключительных случаях 0,99) и эффективному числу наблюдений n_эф, вычисляемому по формуле

где n_i —число наблюдений при измерении а_i.

Доверительные границы Q(Р) НСП результата такого измерения, сумму Q(Р) и Î(Р) для получения окончательного значения D(Р) рекомендуется вычислять с использованием критериев и формул (7), (8), (10) — (12), в которых m₁, Q_i, и S(x) заменяются, соответственно, на m, b_i ×Q_i, и S().

Косвенные измерения при нелинейной зависимости. При некоррелированных погрешностях измерений а_i используется метод линеаризации путем разложения функции f(а₁,..., a_m) в ряд Тейлора, то есть

f(а₁,..., a_m) =,

где — отклонение отдельного результата наблюдения а_i от ; R — остаточный член.

Метод линеаризации допустим, если приращение функции f можно заменить ее полным дифференциалом. Остаточным членом

пренебрегают, если ,

где — оценка СКО случайных погрешностей результата измерения . При этом отклонения Dдолжны быть взяты из возможных значений погрешностей и такими, чтобы они максимизировали R.

Результат измерения вычисляют по формуле = f(.

Оценку СКО случайной составляющей погрешности результата такого косвенного измерения S() вычисляют по формуле

а Î(Р) — по формуле (17). Значение n_эф, границы НСП Q(Р) и погрешность D(Р) результата косвенного измерения при нелинейной зависимости вычисляют так же, как и при линейной зависимости, но с заменой коэффициентов b_i на ¶f/¶ a_i

Метод приведения (для косвенных измерений с нелинейной зависимостью) применяется при неизвестных распределениях погрешностей измерений a_i и при корреляции между погрешностями a_i для получения результата косвенного измерения и определения его погрешности. При этом предполагается наличие ряда n результатов наблюдений a_ij измеряемых аргументов а_i. Сочетания a_ij, полученных в j-м эксперименте подставляют в формулу (1.16) и вычисляют ряд значений A_j измеряемой величины А. Результат измерения вычисляют по формуле .