Матрица-якобиан последнего звена ИМ

Матрицы-якобианы линейных скоростей ИМ.

Из выражений для расчета линейных скосротей звеньев ИМ следует

V_n⁽⁰⁾ = D_n⁽⁰⁾q^`

где

D_n⁽⁰⁾ = [D_n1⁽⁰⁾ D_n2⁽⁰⁾ … D_nn⁽⁰⁾ ] -

матрица, составленные из векторов D_j ⁽⁰⁾ , имеющие размер (3хn).

Матрица D_n⁽⁰⁾ линейно связывает между собой векторы производных по времени обобщенных координат ИМ и угловых скоростей последнего (n-го) звена ИМ и носит название матриц-якобианов линейных скоростей (n-го звена) ИМ.

Аналогично можно построить матрицу-якобиан D_i⁽⁰⁾ для любых других звеньев ИМ.

Важным является то, что с помощью этих матриц можно, зная производные по времени обобщенных координат ИМ (скоростей вращения шарниров), определить линейную скорость любого звена ИМ.

Зная D_i⁽⁰⁾ , можно составить блочную матрицу D⁽⁰⁾ , в которой матрицы D_i⁽⁰⁾ представлены (блочными) строками размера (3хn) с соответствующими номерами. Размер блочных матриц – (3nхn).

С использованием таких блочных матриц ИМ можно записать выражения выражения для расчета угловых скоростей сразу всех звеньев ИМ:

V ⁽⁰⁾ = D⁽⁰⁾ q^` ,

где

V ⁽⁰⁾ = [V₁^(0)T V₂^(0)T … V_n^(0)T ]^T.

Элементы блочной матрицы D⁽⁰⁾ = {D_ij⁽⁰⁾} – векторы D_ij ⁽⁰⁾ .

Поскольку в выражениях для расчета линейных скоростей суммирование ведется только до i, элементы матрицы D^{(0) с}ледует принять равными нулю при j>i.

Блочная матрица D⁽⁰⁾ носит название матрицы-якобиана линейных скоростей ИМ.

Выпишем выражения для расчета линейных и угловых скоростей последних звеньев ИМ:

w_n⁽⁰⁾ = C_n⁽⁰⁾q^`

V_n⁽⁰⁾ = D_n⁽⁰⁾q^`

Составим теперь блочный вектор [w_n^{(0) T} V_n^{(0) T}]^T и блочную матрицу X⁽⁰⁾, элементы которой с_i ⁽⁰⁾ и D_ni⁽⁰⁾ :

с₁⁽⁰⁾ с₂⁽⁰⁾ … с_n⁽⁰⁾

X⁽⁰⁾ = ------------------------.

D_n1⁽⁰⁾ D_n2⁽⁰⁾ … D_nn⁽⁰⁾

Тогда систему уравнений (2.15) можно представить в виде одного уравнения

w_n⁽⁰⁾

^--------- = X⁽⁰⁾ q^`,

V_n⁽⁰⁾

связывающего между собой векторы угловой и линейной скорости последнего звена ИМ в базовой (декартовой) СК, и вектор производных обобщенных координат ИМ.

Связь между обобщенными и декартовыми координатами – линейная. Матрица X⁽⁰⁾, связывающая между собой обобщенные и декартовы кординаты последнего звена ИМ, называется матрицей-якобианом скоростей ИМ или просто матрицей-якобианом.

На практике необходимо решать обе задачи. Решения прямой задачи позволяет установить скорость движения ИМ по известным показаниям датчиков скорости, установленных на валах приводов. Решение обратной кинематической задачи - определить сигналы управления на входах приводов (при управлении приводами по скорости), соответствующие заданной скорости движения ИМ. Для решение обратной кинематической задачи для скоростей ИМ применяют специальные приемы, позволяющие исключить возможные неоднозначности.

Если при составлении матрицы X⁽⁰⁾ использовать в качестве элементов векторы с_j⁽⁰⁾ и D_ij⁽⁰⁾ , можно решать задачи расчета скоростей любых других звеньев ИМ, а также обратные задачи.