Развернем полученное выражение, подставив в него

13 14 15 16 17 18 19

Линейные скорости звеньев ИМ

Соотношения для определения линейных скоростей звеньев получим, продифференцировав выражения для V_i⁽⁰⁾ по времени:

_{i i}

V_i⁽⁰⁾= t^`_i⁽⁰⁾ = t^`_0i t_i + S t`_0k (v_k(1-s_k)q_k+ l_k) + S t_0j (v_j(1-s_j)q^`_j).

^k⁼¹^j⁼¹

(Различные индексы суммирования во втором и третьем слагаемых приняты для удобства дальнейших преобразований).

Подставив сюда значения t^`_0k = l(w_k⁽⁰⁾) t_0k, получим

_{i i}

V_i⁽⁰⁾= t^`_i⁽⁰⁾ = l(w_i⁽⁰⁾) t_0i t_i + S l(w_j⁽⁰⁾) t_0j (v_j(1-s_j)q_j+ l_j) + S t_0j (v_j(1-s_j)q^`_j).

^j⁼¹^j⁼¹

w_k ⁽⁰⁾= S t₀_jv_js_jq^`_j.

^j⁼¹

Получим: _i_i

V_i⁽⁰⁾ = t^`₀_it_i + S t`₀_k(v_k (1-s_k)q_k + l_k) + S t₀_j(v_j (1-s_j)q^`_j) =

^k⁼¹^j⁼¹

_i _i _k

S l(t₀_jv_js_j) t₀_it_i q_j^` + S S l(t₀_jv_js_j) t₀_k(v_k (1-s_k)q_k + l_k) q_j^` +

^{j=1 k=1 j=1}

S t_0j v_j(1-s_j) q^`_j.

^j⁼¹

Покажем, что полученное выражение можно представить в следующем виде:

V_i⁽⁰⁾= S D_ij⁽⁰⁾q^`_j,

^j=1

где

D_ij⁽⁰⁾= l(t_0j v_js_j) R_ij⁽⁰⁾+ t_0j v_j(1-s_j)= l(с_j⁽⁰⁾) R_ij⁽⁰⁾+ t_0j v_j(1-s_j),

R_ij⁽⁰⁾= t_0it_i + S t_0k (v_k(1-s_k)q_k+ l_k).

^k=j

Доказательство.

Для t₀_j v_j (1-s_j) все очевидно (из третьего слагаемого выражения для V_i⁽⁰⁾).

l(с_j⁽⁰⁾) R_ij⁽⁰⁾получается в результате преобразований двух первых слагаемых. Первое слагаемое из выражения для V_i⁽⁰⁾ в выражение для R_ij⁽⁰⁾переходит непосредственно. Докажем, что второе слагаемое в R_ij⁽⁰⁾можно получить, преобразовав второе слагаемое в V_i⁽⁰⁾путем изменения порядка и пределов суммирования.

В самом деле:

_i _k _i _i

S S l(t₀_jv_js_j) t_0k(v_k (1-s_k)q_k + l_k) q_j^` = S S l(t₀_j v_js_j) t_0k (v_k (1-s_k)q_k + l_k) q_j^`=

^{k=1 j=1 j=1 k=j}

_{i i}

S l(t_0j v_js_j) S t_0k (v_k(1-s_k)q_k+ l_k) q_j^`.

^j⁼¹^k⁼^j

Пояснение.

До перестановки: k=1, j=1.

k=2, j=1,2.

…

k=i, j=1,2,…,i.

После перестановки:

j=1, k=1,…,i,

j=2, k=2,…,i,

…

j= i, k=i.

Можно видеть, что полученное выражение соответствует второму слагаемому R_ij⁽⁰⁾, что и требовалось доказать.

D_ij⁽⁰⁾- векторы размера (3х1).

3.6. Свойства векторов D_ij⁽⁰⁾

а) D_j⁽⁰⁾ - орт оси Z_j_-1, спроецированный на оси СК₀., если j = [ПП].

б) D_ij⁽⁰⁾= l(t₀_j v_js_j) R_ij⁽⁰⁾, если j = [ВП].

г) |D_j⁽⁰⁾| = 1, если j = [ПП].

е) R_ij⁽⁰⁾ - есть вектор, проведенный из начала СК_j_-1к точке на звене i, скорость которой определяется, рассматриваемый в проекциях на оси СК₀.

ж) | R_ij⁽⁰⁾| - длина вектора, проведенного из начала СК_j_-1к точке на звене i, скорость которой определяется.

з) | D_ij⁽⁰⁾^w| = площади прямоугольника, построенного на векторах с_j⁽⁰⁾и R_ij⁽⁰⁾ как на сторонах. Поскольку |с_j⁽⁰⁾|= 1, |D_ij⁽⁰⁾^w| численно равен длине перпендикуляра, опущенного из конца вектора R_ij⁽⁰⁾ к линии вдоль вектора с_j⁽⁰⁾.