Производные по времени матриц преобразований поворота

Матрицы-якобианы угловых скоростей ИМ.

Обозначим q = {q₁,q₂,…,q_n }^T – вектор, составленный из обобщенных (присоединенных) координат ИМ и назовем его вектором обобщенных (присоединенных) координат ИМ.

Из выражений для w_i ⁽⁰⁾ следует

w_n⁽⁰⁾ = C_n⁽⁰⁾q^`

где

C_n⁽⁰⁾ = [с₁⁽⁰⁾ с₂⁽⁰⁾ … с_n⁽⁰⁾ ],

матрица, составленная из векторов с_j ⁽⁰⁾ ; размер матрицы C_n⁽⁰⁾ - (3хn).

Матрица C_n⁽⁰⁾ линейно связывает между собой векторы производных по времени обобщенных координат ИМ и вектор угловой скорости последнего (n-го) звена ИМ и носит название матрицы-якобиана угловых скоростей ИМ. Чаще всего рассматривают матрицы-якобианы последнего звена ИМ.

Аналогично можно построить матрицу-якобиан C_i⁽⁰⁾ для любых других звеньев ИМ.

Важным является то, что с помощью этих матриц можно, зная производные по времени обобщенных координат ИМ (скоростей вращения шарниров), определить угловую скорость любого звена ИМ.

Зная с_i⁽⁰⁾ , можно составить блочные матрицы С⁽⁰⁾, в которых матрицы с_i⁽⁰⁾ будут представлены (блочными) строками размера (3хn) с соответствующими номерами. Размер блочных матриц – (3nхn).

С использованием таких блочных матриц можно записать выражения для расчета угловых скоростей сразу всех звеньев ИМ:

w⁽⁰⁾ = C⁽⁰⁾ q^` ,

где

w⁽⁰⁾ = [w₁^(0)T w₂^(0)T … w_n^(0)T ]^T.

Элементы блочных матриц С⁽⁰⁾ = {с_i⁽⁰⁾} – векторы с_j ⁽⁰⁾ .

Элементы блочной матрицы С⁽⁰⁾ следует принять равными нулю при j>i.

Блочная матрица С⁽⁰⁾ название матрицы-якобиана угловых скоростей ИМ.

3.4.1. Запись производной по времени матрицы t_i-1i

Матрица t^`_i-1i равна

t^`_i-1i = t_i-1i l(v_i),

где обозначено l(*) – матрица (3х3) векторного произведения, составленная из элементов вектора

* = {*_x *_y *_z }^T :

0 - *_z *_y

l(.) = *_z 0 - *_x

-*_y *_x 0

Матрица используется при записи векторного произведения в координатной форме.