Свойства матрицы векторного произведения l(.)

а) l^T(.) = - l(.); следует из того, что l(.) – кососимметрическая матрица.

б) Если a, b – 3-мерные векторы, то векторное произведение a x b вкоординатнойформе записи равно l(a)b, что непосредственно следует из свойств векторного произведения.

в) l(a)b = -l(b)a; непосредственно следует из свойств векторного произведения.

г) l(a⁽ⁱ)b⁽ⁱ⁾ = t_ij l(a^(j)b^(j) = l(t_ij a^(j)t_ijb^(j); следует из свойств векторного произведения: результат векторного произведения не зависит от СК, в которой оно выполнено. Представленные соотношения можно переписать иначе:

l(a^(j)b^(j) = t^T_ij l(t_ij a^(j)t_ijb^(j).

Поскольку представленные соотношения справедливы для любого вектора b^(j), b^(j) можно опустить:

l(a^(j) = t^T_ij l(t_ij a^(j)t_ij.

Последнее выражение можно переписать так

l(t_ij a^(j) = t^T_ij l(a^(j)t_ij,

_{i i}

д) l(S a_k^(j)) = Sl(a_k^(j)). Это соотношение очевидно.

^{k=1 k=1}

3.4.3. Вычисление t^`_i-1i .

В справедливости выражений п.3.4.1 нетрудно убедиться, выполнив предписанные ими действия:

t^{`</sup><sub>i-1i</sub> = t<sub>z</sub><sup>` T}(s_iq_i) e_i^T = (d

| cos (s_iq_i) -sin (s_iq_i) 0 |

| sin (s_iq_i) cos (s_iq_i) 0 | / dt) e_i^T =

| 0 0 1 |

- sin(s_iq_i) - cos(s_iq_i) 0 cos (s_iq_i) -sin (s_iq_i) 0 0 -1 0

cos (s_iq_i) - sin(s_iq_i) 0 e_i^T s_iq_i^{`</sup> = sin (s<sub>i</sub>q<sub>i</sub>) cos (s<sub>i</sub>q<sub>i</sub>) 0 1 0 0 e<sub>i</sub><sup>T</sup> s<sub>i</sub>q<sub>i</sub><sup>`} =

0 0 0 0 0 1 0 0 0

t_z^T(s_iq_i) l(e) e_i^T s_iq_i^{`</sup> = t<sub>z</sub><sup>T</sup>(s<sub>i</sub>q<sub>i</sub>) l(e<sub>i</sub><sup>T</sup> (e<sub>i</sub> e)) e<sub>i</sub><sup>T</sup> s<sub>i</sub>q<sub>i</sub><sup>`} = t_z^T(s_iq_i)e_i^T l(v_i) e_ie_i^T s_iq_i^` =

t_z^T(s_iq_i)e_i^T l(v_i s_iq_i^`) = t_i-1i l(v_i),

3.4.4. Производная по времени матрицы t_0i.

Продифференцируем выражение для t_0i по времени; получим

_{i i}

t^{`</sup><sub>0i</sub> = d (П t<sub>k-1 k</sub>)/dt = S t<sub>0 k-1</sub>t<sup>`}_{k-1 k}t_ki = S t_{0 k-1}t _k-1k l(v_k) t_ki =

^{k=1 k=1}

S t_{0 k} l(v_k) t _k0t_{0 k} t_ki = S t_0k l(v_k) t _k0t_0i = S l(t _0kv_k) t_0i = l(St_0k v_k) t_0i =

l(w_i⁽⁰⁾) t_0i.

Или

t^`_{0i =} l(w_i⁽⁰⁾) t_0i.