Метод спрямления при решении задач на построение

В задачах на построение встречаются задачи, в условии которых заданы не сами отрезки, а их сумма или разность. В этом случае применяют метод спрямления, который заключается в том, что на чертеже изображают данный отрезок так, чтобы он включал в себя один из неизвестных отрезков, который участвует в сумме или разности. Проиллюстрируем сказанное на примерах.

ПРИМЕР 11. Построить треугольник по данной стороне, углу, к ней прилежащему, и сумме двух других сторон (a, b+c,B).

Анализ. Предположим, задача решена и треугольник АВС искомый (рис. 20). Поскольку задан отрезок, равный сумме двух сторон, то изобразим его так, чтобы он включал в себя одну из сторон этого треугольника, т.е построим отрезок ВД, который равен b+c и он содержит отрезок ВА. Тогда в треугольнике ДВС известны две стороны и угол между ними. Значит его можно построить. Кроме того, отметим, что треугольник ДАС является равнобедренным.

Построение. По данным в условии строим треугольник ДВС и проведем перпендикуляр к ДС через его середину; он пересечет ВД в точке А.

Доказательство. Поскольку в треугольнике ВДС ВД= b+c, то серединный перпендикуляр к СД пересечет ВД в такой точке А, что АД=АС, а, значит, АС=АД= b. Тогда треугольник обладает всеми свойствами, требуемыми в задаче.

Исследование. Для того чтобы задача имела решение, необходимо и достаточно, чтобы b+c>a. В этом случае задача имеет одно решение.

.