Применение параллельного переноса при решении задач на построение

Определение. Пусть на плоскости задан вектор . Параллельным переносом называется такое преобразование плоскости, при котором каждой точке А этой плоскости ставится в соответствие такая точка В, что Вектор при этом называется вектором смещения.

Свойства параллельного переноса:

1). При параллельном переносе прямая переходит в прямую;

2). При параллельном переносе отрезок переходит в равный ему отрезок;

3). При параллельном переносе угол переходит в равный ему угол;

4). Параллельный перенос является движением.

Рассмотрим примеры применения параллельного переноса.

ПРИМЕР 8. Построить трапецию по данным четырем сторонам.

Анализ. Допустим, что трапеция АВСД искомая. Перенесем АВ параллельно на вектор , получим отрезок СЕ (рис. 13) и треугольник ЕСД, в котором известны все три стороны. К треугольнику ЕСД достаточно достроить параллелограмм АВСЕ. Для этого известны две его стороны СЕ и АЕ и ÐВАЕ.

Построение. Строим треугольник СЕД по трем сторонам, две из которых СЕ и СД являются сторонами трапеции, а третья – разностью оснований трапеции. Продолжим ДЕ за точку Е и на продолжении от точки Е отложим отрезок АЕ, равный меньшему основанию трапеции ВС. Построим угол с вершиной в точке А и равный ÐСЕД и на второй стороне отложим АВ=СЕ. Соединим В и С и получим трапецию.

Доказательство непосредственно следует из построения.

Исследование. Задача имеет решение или нет в зависимости от того, можно ли построить треугольник СЕД. Если решение есть, то оно одно.

ПРИМЕР 9. Даны две непересекающиеся окружности разных радиусов. Провести к ним общую внешнюю касательную.

Анализ. Предположим, задача решена (рис.15). Пусть О – центр меньшей окружности радиуса r и О₁ – большей радиуса R и АВ их общая касательная. Если перенести АВ параллельно на вектор , то он займет положение ОС, причем С – точка касания прямой ОС с окружностью радиуса R-r с центром в точке О₁. Отсюда вытекает построение.

Построение. Строим окружность радиуса R-r с центром в О₁ – центре большей окружности. Из точки О – центра меньшей окружности проводим касательную к новой окружности. Пусть С – точка касания. Проведя радиус О₁С и продолжив его до пересечения с большей окружностью, получим точку А. Проведя через А прямую, параллельную О₁С, получим искомую касательную.

Доказательство очевидно.

Исследование. Задача всегда имеет два решения.