Применение поворота при решении задач на построение

Определение. Пусть О – данная точка плоскости. Вращением плоскости вокруг точки О на угол α называется такое преобразование плоскости в себя, при котором каждой точек А ставится в соответствие такая точка В, что

1) ОА=ОВ;

2) FАОВ=α.

Чтобы выполнить поворот прямой АВ на заданный угол α вокруг заданной точки О, нужно (рис. 16):

1) из точки О опустить перпендикуляр ОН на АВ;

2) построить угол ÐНОС=α;

3) на стороне ОС отложить отрезок ОМ=ОН;

4) через М провести прямую k, перпендикулярную ОС. Прямая k и будет образом прямой АВ.

Чтобы выполнить поворот окружности с центром в точке А и радиуса r на заданный угол α вокруг заданной точки О, нужно (рис.17):

1) построить отрезок ОА, где А – центр заданной окружности;

2) построить угол ÐАОА₁=α, где ОА=АО₁;

3) построить окружность с центром в точке О₁ радиуса r. Она и будет искомой.

Свойства поворота:

1). При повороте прямая переходит в прямую;

2). При повороте отрезок переходит в равный ему отрезок;

3). При повороте угол переходит в равный ему угол;

4). Поворот перенос является движением.

Рассмотрим примеры применения поворота.

ПРИМЕР 10. Построить равносторонний треугольник так, чтобы его вершины находились на трех данных параллельных прямых.

Анализ. Предположим, что задача решена (рис.18), треугольник АВС равносторонний и его вершины А, В и С лежат на соответствующих параллельных прямых a, b,c. Если повернуть треугольник АВС на угол 60^о вокруг точки А, то вершина В перейдет в вершину С, а прямая b перейдет в некоторую прямую b₁, причем эта прямая b₁ тоже будет проходить через точку С. Тем самым положение точки С определяется, а, значит, определяется и сторона искомого треугольника.

Построение. Из точки А опустим перпендикуляр к прямой b, затем повернем этот перпендикуляр на угол 60^о и через его конец проведем прямую b₁, перпендикулярную к нему. Пересекаясь, прямые b₁ и c определяют положение точки С.

Доказательство. Повернем наш треугольник АВС вместе с b₁ и перпендикуляром АР₁ к ней на угол 60^о, тогда АР₁ совпадет с АР, прямая b₁ с прямой b, а вершина С с вершиной В, т.е треугольник АВС равносторонний и его вершины лежат на заданных параллельных прямых.

Исследование. Задача всегда имеет два решения (поворачивать можно в обе стороны).