2014-02-02
945
Виды числовых множеств. Окрестность точки.
Пусть а и b — два числа, причём а < b. Будем использовать следующие обозначения:
| Конечные числовые промежутки | ||||
| 1. | { x | a £ x £ b }=[ a; b ] | замкнутый промежуток (интервал) | отрезок | сегмент |
| 2. | { x | a < x £ b }=(a; b ] | полуоткрытый (полузамкнутый) промежуток (интервал) | полуоткрытый (полузамкнутый) отрезок | полусегмент |
| 3. | { x | a £x< b }=[ a; b) | полуоткрытый (полузамкнутый) промежуток (интервал) | полуоткрытый (полузамкнутый) отрезок | полусегмент |
| 4. | { x | a < x < b }=(a; b) | открытый промежуток (интервал) | ||
| Бесконечные числовые промежутки | ||||
| 5. | { x | a £ x }=[ a; +¥) | полуинтервал | закрытый луч | полупрямая |
| 6. | { x | a < x }=(a; +¥) | интервал | открытый луч | полупрямая |
| 7. | { x | x £ b }=(-¥; b ] | полуинтервал | закрытый луч | полупрямая |
| 8. | { x | x < b }=(-¥; b) | интервал | открытый луч | полупрямая |
| 9. | { x | -¥< x <+¥}=(-¥; +¥) | множество всех вещественных чисел | числовая прямая | прямая |
Все эти множества называются промежутками (интервалами).
|
|
|
Определение 1: Промежутки [ a; b ], (a; b ], [ a; b) и (a; b) называются конечными; а и b — их концы.
Остальные промежутки называются бесконечными.
Открытый интервал (a; b) отличается от отрезка [ a; b ] тем, что ему не принадлежат концы и интервал (а, b) не содержит ни наибольшего, ни наименьшего числа, в то время как в отрезке [ а, b ] такими числами являются соответственно b и а.
Пусть х 0 — любое действительное число.
Определение 2: Окрестностью точки х 0 называется любой интервал (a; b), содержащий точку х 0. В частности, интервал (х 0- e; х 0+ e), где e >0 называется e -окрестностью точки х 0. Число х 0 называется центром, а число e — радиусом.
Если х Î(х 0- e; х 0+ e), то выполняется неравенство х 0- e < х < х 0+ e, или, что то же, | х - х 0|< e.
Выполнение последнего неравенства означает попадание точки х 0 в e -окрестностью точки х 0.
Проколотой окрестностью точки х 0 называется такая окрестность точки х 0, из которой удалена сама точка х 0.
| Þ - знак логического следования | aÞb | означает «из предложения a следует предложение b» |
| Û - знак равносильности (тогда и только тогда, когда) | aÛb | означает «предложение a равносильно предложению b», то есть «из a следует b и из b следует a» или «a выполняется тогда и только тогда, когда выполняется b» |
| "- квантор[1] всеобщности ("[2]) | " х | означает «для любого х», или «для всякого х» |
| $ - квантор существования ($[3]) | $ х | означает «существует х», или «найдётся х» |
| ! – знак единственности | " х $! у | означает «для любого х существует и притом единственный у» |
| : – «имеет место», «такое что» | " х $! у: х + у =0 | означает «для любого х существует и притом единственный у такой, что х + у =0» |
| | – «имеет место», «такое что» | " х $! у | х + у =0 | означает «для любого х существует и притом единственный у такой, что х + у =0» |
| Î(Ï) – знак принадлежности (не принадлежности) | х Î Х (у Ï Y) | означает «элемент х принадлежит множеству Х», или «элемент у не принадлежит множеству Y» |
|
|
|
