Понятие о зонной теории твердых тел

Лекция №23

Тема: Строение атома. Модели атома Томсона и Резерфорда и их недостатки. Дискретность энергетических уровней в атоме. Постулаты Бора. Теория водородоподобных атомов. Недостатки теории Бора.

Используя уравнение Шредингера – основное уравнение дина­мики в нерелятивистской квантовой механике, – в принципе можно рассмотреть задачу о кристалле, например, найти возможные зна­чения его энергии, а также соответствующие энергетические состоя­ния. Известно, что электроны, находясь внутри атома, обладают дискретными значениями энергии. Изолированные атомы, находящиеся друг от друга на макроскопических расстояниях, имеют совпадающие схемы энергетических уровней. По мере «сжатия» ве­щества до кристаллический решетки, т.е. когда расстояния между атомами станут равными межатомным расстояниям в твердых телах, взаимодействие между атомами приводит к тому, что энергетичес­кие уровни атомов смещаются, расщепляются и расширяются в зоны. Образуется так называемый зонный энергетический уровень.

Заметно расщепляются и расширяются лишь уровни внешних валент­ных электронов, наиболее слабо связанных с ядром и имеющих наибольшую энергию, а также наиболее высокие уровни, которые в основном состоянии атома вообще электронами не заняты. Уров­ни же внутренних электронов слабо подвержены этому. Таким об­разом, в твердых телах внутренние электроны ведут себя также,как в изолированных атомах, внешние (валентные) же электроны «коллективизированы» – принадлежат всему твердому телу.

N атомов

ядро электрон

N уровней

ширина зоны – ∆ Е

Схематическое представление коллективизированных атомов

Образование зонного энергетического спектра в кристал­ле является квантово-механическим эффектом и вытекает из сос­тояния неопределенностей. Благодаря переходу через потенциаль­ный барьер внешних электронов атомов в кристалле, среднее вре­мя жизни валентного электрона в данном атоме по сравнению с изолированным атомом существенно уменьшается и составляет примерно 10^-15с (для изолированного атома t = 10^-8с). Время же жизни электрона в каком-либо состоянии связано с неопределен­ностью его энергии (шириной уровня) соотношением неопределен­ностей DЕ = .Следовательно, если естественная ширина спектральных линий составляет примерно 10^-7 эВ, то в кристал­лах DЕ = 1¸10 эВ, т. е. энергетические уровни валентных элек­тронов расширяются в зону дозволенных значений энергии.

Энергия внешних электронов может принимать значения в пределах разрешенных энергетических зон. Каждая разрешенная зона «вмещает» в себя столько близлежащих дискретных уровней, сколько атомов содержит кристалл. Расстояние между соседними энергетическими уровнями в зоне составляет приблизительно 10^-22 эВ. Так как оно столь ничтожно, то зоны можно считать практически непрерывными, однако факт конечного числа уровней в зоне игра­ет важную роль в определении характера распределения электро­нов по состояниям. Разрешенные энергетические зоны разделены зонами запрещенных значений энергии, называемыми запрещенными энергетическими зонами. В запрещенных зонах электроны находить­ся не могут. Ширина зон не зависит от размеров кристалла. Раз­решенные зоны тем шире, чем слабее связь валентных электронов с ядрами. Итак, в общем случае в твердых телах образуется три зоны (рис. 6.35).

Е __________________

__________________ зона проводимости

__________________ зона запрещенная DЕ₀

О _________________ зона валентная

Схема расположения зон

Валентная зона полностью заполнена электронами и образована из энергетических уровней электронов внутренних оболочек свобод­ных атомов. Зона проводимости (свободнаязона) либо частично заполнена электронами, либо свободна и образована из энерге­тических уровней внешних «коллективизированных» электронов изолированных атомов.

В металлах эти зоны частично заполнены электронамиили перекрываются, а распределение электронов по энергиям подчиня­ется статистике Ферми-Дирака. Внутризонные переходы вполне воз­можны, т. к., например, при 1К энергия теплового движения КТ=10^-4 эВ, то есть гораздо больше разности энергий между со­седними уровнями зоны (10^-22 эВ).

Если в кристалле окажутся одна целиком заполненная (ва­лентная) зона и одна свободная зона (проводимости), то это вещество будет полупроводникили диэлектрик в зависимости от ширины запрошенной зоны DЕ₀.

Различие между металлами и диэлектриками с точки зрения зонной теории состоит в том, что при ОК в зоне проводимости металлов имеются электроны, а в зоне проводимости диэлектриков они отсутствуют. Различие же между диэлектриком и полупроводником определяется шириной запрещенных зон: для диэлектриков она довольно широка (1 – 10 эВ) (например, для NaCl DЕ₀ = 6эВ), для полупроводников – достаточно узка DЕ₀ £ 1 эВ (например, для германия DЕ₀ = 0,72 эВ). При температурах, близких к ОК, полупроводники ведут себя как диэлектрик, т.к. переброска электронов в зону проводимости не происходит.

Проводимость полупроводников, с точки зрения зонной тео­рии, объясняется тем, что дополнительная энергия необходимая для преодоления ширины запрещенной зоны, электрону сообщается за счет внешних факторов. Электрон, перешедший в зону проводимости, увеличивает электропроводимость полупроводника и остав­ляет в валентной зоне свободное место, которое называют дыркой. Во внешнем электрическом поле электрон с соседнего энергетичес­кого уровня в валентной зоне может перейти в дырку и оставит вместо себя свободное место – дырку. Дырка перемещается в на­правлении, обратном перемещению электрона, т. е. ведет себя в электрическом поле подобно положительному заряду.

Итак, при внешних воздействиях полупроводник приобретает одновременно два типа проводимости – электронную и дырочную.