Методы оценки параметров кривой обеспеченности годового стока при наличии, недостатке и отсутствии данных. Оценка точности определения параметров.
Лекция № 9.
При определении ординат аналитической кривой обеспеченности и расчетных значений гидрологических характеристик, так же как и при вычислении нормы годового стока, возможны три характерных расчетных случая: материалов многолетних гидрометрических наблюдений достаточно, недостаточно и совсем нет.
Многолетних гидрометрических рядов наблюдений достаточно. Параметры аналитической кривой обеспеченности, необходимые для определения ее ординат и построения, рекомендуется устанавливать методом наибольшого правдоподобия, методом моментов или графоаналитическим методом.
Метод наибольшого правдоподобия предложен английским математиком Р.Фишером. Он заключается в том, что параметры распределения подбирают по принципу наибольшого правдоподобия, т.е. принимают такие значения, при которых результаты наблюдений имеют наибольшую вероятность совместного появления, или, другими словами, наиболее правдоподобны.
|
|
Аналитическое решение этой задачи, данное С.Н.Крицким и М.Ф. Менкелем, требует громоздких вычислений. Поэтому с целью облегчения практического применения этого метода для трехпараметрического гамма-распределения Е.Г.Блохинов построил номограммы, которые позволяют определять расчетные значения коэффициента вариации Сv и коэффициента асимметрии Cs в зависимости от статистик и , вычисляемых по формулам:
(1) | |
(2) |
где Ki - модульный коэффициент рассматриваемой гидрологической характеристики; n - число членов рядов.
Среднемноголетнее значение гидрологических характеристик находят по формулам вида:
Метод моментов заключается в том, что параметры кривой обеспеченности (и распределения) устанавливают на основе понятия о моментах статистических совокупностей. По аналогии с механикой под моментами статистических совокупностей понимают произведения случайной величины x или ординаты кривой распределения на расстояние до выбранной точки. В математической статистике наиболее часто используют моменты двух видов; начальные - относительно начала координат и центральные - относительно среднего арифметического.
Начальный момент порядка m случайной величины x представляют собой выражение вида
(3) |
В частном случае при m=1 начальный момент, называемый первым, соответствует среднеарифметическому значению рассматриваемой переменной, т.е.
(4) |
Это одна из формул метода моментов, позволяющая определить один из основных параметров аналитической кривой обеспеченности - норму стока.
|
|
Центральным моментом порядка m случайной величины x называют среднее значение отклонений x от ее среднеарифметического значения в степени m:
(5) |
Второй центральный момент (при m=2)
(6) |
Если сопоставить это выражение с формулой
(7) |
то окажется, что
(8) |
т.е. равен среднеквадратическому отклонению во второй степени (дисперсии). Откуда следует, что
(9) |
а коэффициент вариации
, | (10) |
или в безразмерном виде
(11) |
Третий центральный момент
(12) |
Откуда следует, что коэффициент асимметрии
(13) |
а для ряда модульных коэффициентов
(14) |
При наличии ограниченных выборок, второй центральный момент (8) имеет отрицательное смещение (систематическое занижение). Для его устранения в (8) вводится поправка , c учетом этого получаем общее выражение
(15) |
Соответственно этому и коэффициент вариации (10) примет следующий окончательный вид:
(16) |
Как и , параметр также является смешанной оценкой. Для устранения вводится поправка , тогда
(17) |
Графо-аналитический метод Г..А. Алексеева. Для определения параметров кривой обеспеченности, т.е. Q0, Cv, и Cs Г.А. Алексеева выполняем следуюшие процедуры:
1. Имеющийся ряд годовых расходов (объемов) Q1, Q2,,QN располагаем в убывающем порядке и получаем ранжированный ряд годовых расходов воды.
2. Используя формулы определяем величину обеспеченности для каждого члена ряда.
3. По парным значениям () на клетчатке вероятностей строим сглаженную (осредненную) эмприческую кривую обеспеченности .
4. На кривой выбираем три опорные точки, соответствующие обеспеченности: т. е. .
Вычисляем коэффициент скошенности
(18)
6. По значению из пролежения 4 в книге «Практикум по инженерной гидрологии и регулированию стока. М: Колос, 1996. С.209-210» определяем параметры СS , Ф5%-Ф95%, Ф50%.
7. Определяем значения параметров кривой обеспеченности
(19)
(20)
(21)
Данных гидрометрических наблюдений недостаточно. Параметры аналитической кривой обеспеченности устанавливают путем приведения коротких рядов к многолетнему периоду, используя многолетние наблюдения на реках-аналогах. Способы и условия такого приведения и расчета нормы годового стока при недостаточности данных наблюдений рассмотрены в лекций №7.
Если норма годового сток определяется непосредственно по уравнению регрессии
(22) |
-первый способ, то коэффициент вариации вычисляют по формуле
(23) |
где и - среднеквадратические отклонения гидрологической характеристики за совместный период наблюдений соответственно для исследуемой реки и реки-аналога, л/(с·км2); - то же за N-летний период для реки-аналога, л/(с·км2); - норма годового стока, вычисляемая по уравнению регрессии для изучаемого створа, л/(с·км2); R - коэффициент корреляции между характеристиками стока в рассматриваемом пункте и пункте-аналоге.
Если же уравнение регрессии (18) применяют для восстановления ежегодных значений стока - второй способ, а также при использовании графиков связи для удлинения рядов, параметры аналитической кривой обеспеченности рассчитывают так, как изложено выше, т.е. методами наибольшего правдоподобия и моментов или графоаналитическим методом.
Данные гидрометрических наблюдений отсутствуют. При отсутствии данных гидрометрических наблюдений норма стока и коэффициенты вариации определяют интерполяцией между значениями, полученными для рек-аналогов по данным наиболее продолжительных рядов гидрометрических наблюдений в рассматриваемом районе с учетом влияния местных факторов.
Коэффициент вариации, как и норму годового стока (см лекцию №7), допускается также определять по официальным картам этого параметра.
Оценка точности определения параметров. Мерой точности статистических параметров является средняя квадратическая погрешность (или стандарт погрешности).
|
|
При отсутствии внутрирядных связей стандартная погрешность среднего (Q0) определяется по формуле
(24) |
При наличии внутрирядных связей
(25) |
r - коэффициент корреляции между смежными членами; Cv - коэффициент вариации.
Стандартная погрешность коэффициента вариации Cv вычисленных методом моментов, находится по формуле
(26) |
Если коэффициент вариации устанавливается с помощью метода наибольшего правдоподобия, то
(27) |
Относительная средняя квадратическая погрешность % коэффициента асимметрии по формуле С.Н.Крицкого и М.Ф.Менкеля
(28) |
или же по следующей более простой эмпирической формуле
(29) |
Влиянием связанности ряда в первом приближении можно в формулах (22)-(25) пренебречь.
Стандартная погрешность коэффициента корреляции r между смежными членами ряда
(30) |