Коэффициенты корреляции

В главе 4 мы рассмотрели основные одномерные описательные статисти­ки — меры центральной тенденции и изменчивости, которые применяются для описания одной переменной. В этой главе мы рассмотрим основные ко­эффициенты корреляции.

Коэффициент корреляции — двумерная описательная статистика, количе­ственная мера взаимосвязи (совместной изменчивости) двух переменных.

История разработки и применения коэффициентов корреляции для ис­следования взаимосвязей фактически началась одновременно с возникнове­нием измерительного подхода к исследованию индивидуальных различий — в 1870—1880 гг. Пионером в измерении способностей человека, как и автором самого термина «коэффициент корреляции», был Френсис Гальтон, а самые популярные коэффициенты корреляции были разработаны его последовате­лем Карлом Пирсоном. С тех пор изучение взаимосвязей с использованием коэффициентов корреляции является одним из наиболее популярных в пси­хологии занятием.

К настоящему времени разработано великое множество различных коэф­фициентов корреляции, проблеме измерения взаимосвязи с их помощью по­священы сотни книг. Поэтому, не претендуя на полноту изложения, мы рас­смотрим лишь самые важные, действительно незаменимые в исследованиях меры связи — /--Пирсона, r-Спирмена и т-Кендалла'. Их общей особенностью является то, что они отражают взаимосвязь двух признаков, измеренных в ко­личественной шкале — ранговой или метрической.

Вообще говоря, любое эмпирическое исследование сосредоточено на изу­чении взаимосвязей двух или более переменных.

ПРИМЕРЫ

Приведем два примера исследования влияния демонстра­ции сцен насилия по ТВ на агрессивность подростков. 1. Изучается взаимосвязь двух переменных, измеренных в количественной (ранговой или метрической) шка­ле: 1)«время просмотра телепередач с насилием»; 2) «агрессивность».

Читается как тау-Кендалла.

ГЛАВА 6. КОЭФФИЦИЕНТЫ КОРРЕЛЯЦИИ

2. Изучается различие в агрессивности 2-х или более групп подростков, отличаю­щихся длительностью просмотра телепередач с демонстрацией сцен насилия.

Во втором примере изучение различий может быть представлено как исследование взаимосвязи 2-х переменных, одна из которых — номинативная (длительность про­смотра телепередач). И для этой ситуации также разработаны свои коэффициенты корреляции.

Любое исследование можно свести к изучению корреляций, благо изобре­тены самые различные коэффициенты корреляции для практически любой исследовательской ситуации. Но в дальнейшем изложении мы будем разли­чать два класса задач:

исследование корреляций — когда две переменные представлены в чис­ловой шкале;

исследование различий — когда хотя бы одна из двух переменных пред­ставлена в номинативной шкале.

Такое деление соответствует и логике построения популярных компьютер­ных статистических программ, в которых в меню Корреляции предлагаются три коэффициента (/--Пирсона, r-Спирмена и х-Кендалла), а для решения других исследовательских задач предлагаются методы сравнения групп.

ПОНЯТИЕ КОРРЕЛЯЦИИ

Взаимосвязи на языке математики обычно описываются при помощи фун­кций, которые графически изображаются в виде линий. На рис. 6.1 изобра­жено несколько графиков функций. Если изменение одной переменной на одну единицу всегда приводит к изменению другой переменной на одну и ту же величину, функция является линейной (график ее представляет прямую линию); любая другая связь — нелинейная. Если увеличение одной перемен­ной связано с увеличением другой, то связь — положительная (прямая); если увеличение одной переменной связано с уменьшением другой, то связь — отрицательная (обратная). Если направление изменения одной переменной не меняется с возрастанием (убыванием) другой переменной, то такая функ­ция — монотонная; в противном случае функцию называют немонотонной.

Функциональные связи, подобные изображенным на рис. 6.1, являются иде-ализациями. Их особенность заключается в том, что одному значению одной переменной соответствует строго определенное значение другой переменной. Например, такова взаимосвязь двух физических переменных — веса и длины тела (линейная положительная). Однако даже в физических экспериментах эмпирическая взаимосвязь будет отличаться от функциональной связи в силу неучтенных или неизвестных причин: колебаний состава материала, погреш­ностей измерения и пр.

Рис. 6.1. Примеры графиков часто встречающихся функций

В психологии, как и во многих других науках, при изучении взаимосвязи признаков из поля зрения исследователя неизбежно выпадает множество воз­можных причин изменчивости этих признаков. Результатом является то, что даже существующая в реальности функциональная связь между переменными выступает эмпирически как вероятностная (стохастическая): одному и тому же значению одной переменной соответствует распределение различных значе­ний другой переменной (и наоборот). Простейшим примером является соотно­шение роста и веса людей. Эмпирические результаты исследования этих двух признаков покажут, конечно, положительную их взаимосвязь. Но несложно догадаться, что она будет отличаться от строгой, линейной, положительной — идеальной математической функции, даже при всех ухищрениях исследова­теля по учету стройности или полноты испытуемых. (Вряд ли на этом основа­нии кому-то придет в голову отрицать факт наличия строгой функциональ­ной связи между длиной и весом тела.)

Итак, в психологии, как и во многих других науках, функциональная вза­имосвязь явлений эмпирически может быть выявлена только как вероятно­стная связь соответствующих признаков. Наглядное представление о характере вероятностной связи дает диаграмма рассеивания — график, оси которого со­ответствуют значениям двух переменных, а каждый испытуемый представля­ет собой точку (рис. 6.2). В качестве числовой характеристики вероятностной связи используются коэффициенты корреляции.

Рис. 6.2. Примеры диаграмм рассеивания и соответствующих коэффициентов корреляции

Коэффициент корреляции — это количественная мера силы и направления вероятностной взаимосвязи двух переменных; принимает значения в диапа­зоне от-1 до +1.

Сила связи достигает максимума при условии взаимно однозначного соот­ветствия: когда каждому значению одной переменной соответствует только одно значение другой переменной (и наоборот), эмпирическая взаимосвязь при этом совпадает с функциональной линейной связью. Показателем силы связи явля­ется абсолютная (без учета знака) величина коэффициента корреляции.

Направление связи определяется прямым или обратным соотношением зна­чений двух переменных: если возрастанию значений одной переменной соответствует возрастание значений другой переменной, то взаимосвязь на­зывается прямой (положительной); если возрастанию значений одной пере­менной соответствует убывание значений другой переменной, то взаимосвязь является обратной (отрицательной). Показателем направления связи являет­ся знак коэффициента корреляции.

КОЭФФИЦИЕНТ КОРРЕЛЯЦИИ г-ПИРСОНА

r-Пирсона (Pearson r) применяется для изучения взаимосвязи двух метричес­ких переменных, измеренных на одной и той же выборке. Существует множество ситуаций, в которых уместно его применение. Влияет ли интеллект на успе­ваемость на старших курсах университета? Связан ли размер заработной пла­ты работника с его доброжелательностью к коллегам? Влияет ли настроение школьника на успешность решения сложной арифметической задачи? Для ответа на подобные вопросы исследователь должен измерить два интересую­щих его показателя у каждого члена выборки. Данные для изучения взаимо­связи затем сводятся в таблицу, как в приведенном ниже примере.

ЧАСТЬ I. ОСНОВЫ ИЗМЕРЕНИЯ И КОЛИЧЕСТВЕННОГО ОПИСАНИЯ ДАННЫХ.

ПРИМЕР 6.1

В таблице приведен пример исходных данных измерения двух показателей интел­лекта (вербального и невербального) у 20 учащихся 8-го класса.

Прежде чем дать формулу коэффициента корреляции, попробуем просле­дить логику ее возникновения, используя данные примера 6.1. Положение каждой /-точки (испытуемого с номером /) на диаграмме рассеивания отно­сительно остальных точек (рис. 6.3) может быть задано величинами и знака­ми отклонений соответствующих значений переменных от своих средних ве­личин: (xj — MJ и (у, —М_у). Если знаки этих отклонений совпадают, то это свидетельствует в пользу положительной взаимосвязи (большим значениям по  х соответствуют большие значения по  у или меньшим значениям по  х со­ответствуют меньшие значения по  у). Связь между этими переменными можно изобразить при помощи диаграммы рас­сеивания (см. рис. 6.3). Диаграмма показывает, что существует некоторая взаимо­связь измеренных показателей: чем больше значения вербального интеллекта, тем (преимущественно) больше значения невербального интеллекта.

9 10 11

Вербальный IQ

Рис. 6.3. Диаграмма рассеивания для данных примера 6.1

ПРИМЕР

Для испытуемого № 1 отклонение от среднего по х и по у положительное, а для испытуемого № 3 и то и другое отклонения отрицательные. Следовательно, данные того и другого свидетельствуют о положительной взаимосвязи изучаемых призна­ков. Напротив, если знаки отклонений от средних по х и по у различаются, то это будет свидетельствовать об отрицательной взаимосвязи между признаками. Так, для испытуемого № 4 отклонение от среднего по х является отрицательным, по у — положительным, а для испытуемого № 9 — наоборот.

Таким образом, если произведение отклонений (х,— М_х) х (у, — М_у) поло­жительное, то данные /-испытуемого свидетельствуют о прямой (положи­тельной) взаимосвязи, а если отрицательное — то об обратной (отрицатель­ной) взаимосвязи. Соответственно, если х w у ъ основном связаны прямо пропорционально, то большинство произведений отклонений будет поло­жительным, а если они связаны обратным соотношением, то большинство произведений будет отрицательным. Следовательно, общим показателем для силы и направления взаимосвязи может служить сумма всех произведений отклонений для данной выборки:

ЧАСТЬ I. ОСНОВЫ ИЗМЕРЕНИЯ И КОЛИЧЕСТВЕННОГО ОПИСАНИЯ ДАННЫХ

При прямо пропорциональной связи между переменными эта величина является большой и положительной — для большинства испытуемых откло­нения совпадают по знаку (большим значениям одной переменной соответ­ствуют большие значения другой переменной и наоборот). Если же х и у име­ют обратную связь, то для большинства испытуемых большим значениям одной переменной будут соответствовать меньшие значения другой перемен­ной, т. е. знаки произведений будут отрицательными, а сумма произведений в целом будет тоже большой по абсолютной величине, но отрицательной по знаку. Если систематической связи между переменными не будет наблюдать­ся, то положительные слагаемые (произведения отклонений) уравновесятся отрицательными слагаемыми, и сумма всех произведений отклонений будет близка к нулю.

Чтобы сумма произведений не зависела от объема выборки, достаточно ее усреднить. Но мера взаимосвязи нас интересует не как генеральный параметр, а как вычисляемая его оценка — статистика. Поэтому, как и для формулы дис­персии, в этом случае поступим также, делим сумму произведений отклоне­ний не на N, а на TV— 1. Получается мера связи, широко применяемая в физи­ке и технических науках, которая называется ковариацией (Covahance):

13 психологии, в отличие от физики, большинство переменных измеряют­ся в произвольных шкалах, так как психологов интересует не абсолютное зна­чение признака, а взаимное расположение испытуемых в группе. К тому же ковариация весьма чувствительна к масштабу шкалы (дисперсии), в которой измерены признаки. Чтобы сделать меру связи независимой от единиц изме­рения того и другого признака, достаточно разделить ковариацию на соот­ветствующие стандартные отклонения. Таким образом и была получена фор­мула коэффициента корреляции К. Пирсона:

(6.1) или, после подстановки выражений для о_х и g_v:

 

Уравнение (6.1) является основной формулой коэффициента корреляции Пирсона. Эта формула вполне осмысленна, но не очень удобна для вычисле­ний «вручную» или на калькуляторе. Поэтому существуют производные формулы — более громоздкие по виду, менее доступные осмыслению, но упро­щающие расчеты. Мы не будем их здесь приводить, так как один раз в жизни можно в учебных целях посчитать корреляцию Пирсона и по исходной фор­муле «вручную», а в дальнейшем для обработки реальных данных все равно придется воспользоваться компьютерными программами.

ГЛАВА 6. КОЭФФИЦИЕНТЫ КОРРЕЛЯЦИИ

ПРИМЕР 6.2

Для расчета коэффициента корреляции воспользуемся данными примера 6.1 о вер­бальном и невербальном IQ, измеренном у 20 учащихся 8-го класса. К двум столб­цам с исходными данными добавляются еще 5 столбцов для дополнительных рас­четов, и внизу — строка сумм.

№	X	Y	{х,-Мх)				(х, - A/V)(.y, - Му)
			3,2	1,6	10,24	2,56	5,12
			-0,8	0,6	0,64	0,36	-0,48
			-1,8	-2,4	3,24	5,76	4,32
			-0,8	1,6	0,64	2,56	-1,28
			-2,8	-1,4	7,84	1,96	3,92
			-0,8	0,6	0,64	0,36	-0,48
			-1,8	-1,4	3,24	1,96	2,52
			3,2	2,6	10,24	6,76	8,32
			1,2	-1,4	1,44	1,96	-1,68
			2,2	-0,4	4,84	0,16	-0,88
			-1,8	-1,4	3,24	1,96	2,52
			-0,8	-2,4	0,64	5,76	1,92
			0,2	-0,4	0,04	0,16	-0,08
			0,2	1,6	0,04	2,56	0,32
			2,2	-0,4	4,84	0,16	-0,88
			0,2	-0,4	0,04	0,16	-0,08
			-1,8	0,6	3,24	0,36	-1,08
			-0,8	-0,4	0,64	0,16	0,32
			0,2	0,6	0,04	0,36	0,12
			1,2	2,6	1,44	6,76	3,12
X			0,00	0,00	57,2	42,8	25,6

На первом шаге подсчитываются суммы всех значений одного, затем — другого признака для вычисления соответствующих средних значений М_х и М_у: М_х = 9,8; Л/, = 10,4.

Далее для каждого испытуемого вычисляются отклонения от среднего: для Х\\ для Y. Каждое отклонение от среднего возводится в квадрат. В последнем столбике за­писывается результат перемножения двух отклонений от среднего для каждого ис­пытуемого.

Суммы отклонений от среднего для каждой переменной должны быть равны нулю (с точностью до погрешности вычислений). Сумма квадратов отклонений необхо­дима для вычисления стандартных отклонений по известной формуле (4.7):

ЧАСТЬ I. ОСНОВЫ ИЗМЕРЕНИЯ И КОЛИЧЕСТВЕННОГО ОПИСАНИЯ ДАННЫХ

Сумма произведений отклонений дает нам значение числителя, а произведение стандартных отклонений и (./V— 1) — значение знаменателя формулы коэффици­ента корреляции:

- - ²⁵'⁶ - = 0,517.

" 1,735 1,501 19

Если значения той и другой переменной были преобразованы в г-значения по формуле:

то формула коэффициента корреляции r-Пирсона выглядит проще:

N

³⁹ N-l '

Отметим еще раз: на величину коэффициента корреляции не влияет то, в каких единицах измерения представлены признаки. Следовательно, любые линейные преобразования признаков (умножение на константу, прибавление кон­станты: у; = хр + а) не меняют значения коэффициента корреляции. Исключе­нием является умножение одного из признаков на отрицательную константу: коэффициент корреляции меняет свой знак на противоположный.

На рис. 6.2 приведены примеры диаграмм рассеивания для различных зна­чений коэффициента корреляции. Обратите внимание: на последнем рисун­ке визуально наблюдается нелинейная взаимосвязь между переменными, од­нако коэффициент корреляции равен нулю. Таким образом, коэффициент корреляции Пирсона есть мера прямолинейной взаимосвязи; он не чувствителен к криволинейным связям.

КОРРЕЛЯЦИЯ, РЕГРЕССИЯ И КОЭФФИЦИЕНТ ДЕТЕРМИНАЦИИ

Корреляция Пирсона есть мера линейной связи между двумя переменны­ми. Она позволяет определить, насколько пропорциональна изменчивость двух переменных. Если переменные пропорциональны друг другу, то графи­чески связь между ними можно представить в виде прямой линии с положи­тельным (прямая пропорция) или отрицательным (обратная пропорция) на­клоном. Кроме того, если известна пропорция между переменными, заданная уравнением графика прямой линии: то по известным значениям переменной ЛГ можно точно предсказать значения переменной  Y.

ГЛАВА 6. КОЭФФИЦИЕНТЫ КОРРЕЛЯЦИИ

На практике связь между двумя переменными, если она есть, является ве­роятностной и графически выглядит как облако рассеивания эллипсоидной формы. Этот эллипсоид, однако, можно представить (аппроксимировать) в виде прямой линии, или линии регрессии. Линия регрессии (Regression Line) — это прямая, построенная методом наименьших квадратов: сумма квадратов расстояний (вычисленных по оси У) от каждой точки графика рассеивания до прямой является минимальной:

где у, — истинное /-значение Y, у, — оценка /-значения Кпри помощи линии (уравнения) регрессии, е, =.у,— y_t— ошибка оценки (см. рис. 6.4). Уравнение регрессии имеет вид:

у-, = bXj+а, (6.2)

где b — коэффициент регрессии (Regression Coefficient), задающий угол наклона прямой; а — свободный член, определяющий точку пересечения прямой оси Y. Если известны средние, стандартные отклонения и корреляция г_ху, то сум­ма квадратов ошибок минимальна, если:

о

b = r —^-,а = М„—ЬМ_г (f, i.\

у *. (6.3)

Таким образом, если на некоторой выборке измерены две переменные, которые коррелируют друг с другом, то, вычислив коэффициенты регрессии, мы получаем принципиальную возможность предсказания неизвестных зна­чений одной переменной  (У— «зависимая переменная») по известным значе­ниям другой переменной  (X — «независимая переменная»). Например, пред­сказываемой «зависимой переменной» может быть успешность обучения, а предиктором, «независимой переменной» — результаты вступительного теста.

Рис. 6.4. Диаграмма рассеивания и линия регрессии (е,- — ошибка оценки для одного из объектов)

ЧАСТЬ I. ОСНОВЫ ИЗМЕРЕНИЯ И КОЛИЧЕСТВЕННОГО ОПИСАНИЯ ДАННЫХ

С какой степенью точности возможно такое предсказание?

Понятно, что наиболее точным предсказание будет, если \г_ху\ = 1. Тогда каж­дому значению Сбудет соответствовать только одно значение У, а все ошибки оценки будут равны 0 (все точки на графике рассеивания будут лежать на пря­мой регрессии). Если же г_ху — О, то b = О и у, = М_у, т. е. при любом X оценка переменной Убудет равна ее среднему значению и предсказательная ценность регрессии ничтожна.

Особое значение для оценки точности предсказания имеет дисперсия оце­нок зависимой переменной. Отметим, что дисперсия оценок равна нулю, если г_ху = 0 — все оценки равны среднему значению, прямая регрессии параллель­на оси X. А если \г_ху\ = 1, то дисперсия оценок равна истинной дисперсии пе­ременной У, достигая своего максимума:

0 < о) < а].

По сути, дисперсия оценок зависимой переменной У— это та часть ее пол­ной дисперсии, которая обусловлена влиянием независимой переменной X.

Неизвестную дисперсию оценок У можно выразить через другие, извест­ные статистики, зная рассмотренные ранее свойства дисперсии:

так как прибавление константы а к каждому значению переменной не меняет дисперсию, а умножение на константу b — увеличивает дисперсию в />²раз. Подставляя в формулу выражение для b из (6.2) получаем:

(6.4)

Иначе говоря, отношение дисперсии оценок зависимой переменной к ее ис­тинной дисперсии равно квадрату коэффициента корреляции.

Выражение (6.4) дает еще один вариант интерпретации корреляции. Квад­рат коэффициента корреляции (R Square) зависимой и независимой перемен­ных представляет долю дисперсии зависимой переменной, обусловленной влиянием независимой переменной, и называется коэффициентом детерми­нации. Коэффициент детерминации г_ху, таким образом, показывает, в какой сте­пени изменчивость одной переменной обусловлена (детерминирована) вли­янием другой переменной.

ГЛАВА 6. КОЭФФИЦИЕНТЫ КОРРЕЛЯЦИИ

ПРИМЕР

В большинстве исследований взаимосвязи IQ и успеваемости в школе корреляции этих показателей не превышают 0,5—0,7, т. е. коэффициент детерминации достигает величин 0,25—0,49. Иными словами, индивидуальная изменчивость (дисперсия) сред­него балла успеваемости может быть предсказана по результатам тестирования IQ не более чем на 25—49%. Означает ли это, что успешность обучения не более чем на 25—49% зависит от интеллекта? Ответ зависит от того, в какой мере средний балл отметок отражает успешность обучения, а тест IQ — интеллектуальные способности учащегося. Во всяком случае, этот пример демонстрирует явно не высокую эффек­тивность двумерной регрессии в деле практического предсказания¹.

Коэффициент детерминации обладает важным преимуществом по сравне­нию с коэффициентом корреляции. Корреляция не является линейной функци­ей связи между двумя переменными. Поэтому, в частности, среднее арифмети­ческое коэффициентов корреляции для нескольких выборок не совпадает с корреляцией, вычисленной сразу для всех испытуемых из этих выборок (т. е. коэффициент корреляции не аддитивен). Напротив, коэффициент детерми­нации отражает связь линейно и поэтому является аддитивным: допускается его усреднение для нескольких выборок.

Дополнительную информацию о силе связи дает значение коэффициента корреляции в квадрате — коэффициент детерминации г²: это часть диспер­сии одной переменной, которая может быть объяснена влиянием другой пе­ременной. В отличие от коэффициента корреляции г² линейно возрастает с увеличением силы связи. На этом основании можно ввести три градации ве­личин корреляции по силе связи:

г < 0,3 — слабая связь (менее 10% от общей доли дисперсии);

0,3 < г < 0,7 — умеренная связь (от 10 до 50% от общей доли дисперсии);

г > 0,7 — сильная связь (50% и более от общей доли дисперсии).

ЧАСТНАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ

Очень часто две переменные коррелируют друг с другом только за счет того, что обе они согласованно меняются под влиянием некоторой третьей пере­менной. Иными словами, на самом деле связь между соответствующими свой­ствами отсутствует, но проявляется в статистической взаимосвязи (корреля­ции) под влиянием общей причины.

ПРИМЕР

Общей причиной изменчивости двух переменных («третьей переменной») может яв­ляться возраст при изучении взаимосвязи различных психологических особеннос­тей в группе детей разного возраста. Предположим, что изучается взаимосвязь меж­ду зрелостью моральных суждений — Хп скоростью чтения — К. Но в распоряжении ¹ С более совершенными методами предсказания книга знакомит вас в части 3: «Много­мерные методы...»

ЧАСТЬ I. ОСНОВЫ ИЗМЕРЕНИЯ И КОЛИЧЕСТВЕННОГО ОПИСАНИЯ ДАННЫХ

исследователя имеется лишь выборка из 45 детей разного возраста — от 8 до 14 лет (переменная Z— возраст). Если будет получена существенная положительная корре­ляция между Хи Y, например г_ху = 0,54, то о чем это будет свидетельствовать? Осто­рожный исследователь вряд ли сделает однозначный вывод о том, что зрелость мо­ральных суждений непосредственно связана со скоростью чтения. Скорее всего, дело втом, что и зрелость моральных суждений, и скорость чтения повышаются с возрас­том. Иными словами, возраст является причиной согласованной (прямо пропорци­ональной) изменчивости и зрелости моральных суждений, и скорости чтения.

Для численного определения степени взаимосвязи двух переменных при усло­вии исключения влияния третьей применяют коэффициент частной корреляции {Partial Correlation). Для вычисления частной корреляции достаточно знать три коэффициента корреляции г-Пирсона между переменными X, Yu Zfr^, r_xz и r_yz):

(6.5)

где r_xy^_z — частная корреляция Хи Упри постоянном Z(kiih с учетом Z).

 Частная корреляция r_xy__z равна г_ху при любом фиксированном значении Z (в том случае, если Zлинeйнo коррелирует с Хтл У). Например, если значение частной корреляции скорости чтения Хи зрелости моральных суждений К с учетом возраста ZpaBHO 0,2 {r_xy___z = 0,2) и возраст линейно коррелирует и с Хи с У, то с любой группе детей одного и того же возраста г_ху будет тоже равно 0,2.

ПРИМЕР 6.3

Один исследователь решил сопоставить антропометрические и психологические данные исследования довольно большой группы детей. Каково же было его изум­ление, когда обнаружилась существенная положительная корреляция между скоро­стью решения арифметических задач и размером стопы: г_ху = 0,42. Оказалось, однако, что дети были разного возраста. Корреляция размера стопы с возрастом составила r_xy = QJ, а корреляция скорос­ти решения арифметических задач с возрастом г_у, = 0,6. Эти данные позволяют выяснить, взаимосвязаны ли размер стопы и скорость решения арифметических задач с учетом возраста (при условии, что возраст остается неизменным). Для этого необходимо вычислить частный коэффициент корреляции между размером стопы Хи скоростью решения арифметических задач К(при фиксированном возрасте Z):

0,42-0,7-0,6

^rxy-z ⁼ I ⁼ "

V(l-0,7²)(l-0,6²)

Таким образом, размер стопы и скорость решения арифметических задач корре­лируют исключительно за счет согласованности возрастной изменчивости этих показателей: частная корреляция между ними (с учетом возраста) равна нулю. И ес­ли мы возьмем группу детей одного и того же возраста, то корреляция размера сто­пы и скорости решения арифметических задач будет равна нулю.

ГЛАВА 6. КОЭФФИЦИЕНТЫ КОРРЕЛЯЦИИ

Следует быть особенно осторожным, пытаясь дать интерпретацию част­ной корреляции с позиций причинности. Например, если Zкоррелирует и с 1и с Y, а частная корреляция r_xy__z близка к нулю, из этого не обязательно следует, что именно Zявляeтcя общей причиной для Хн Y.

РАНГОВЫЕ КОРРЕЛЯЦИИ

Если обе переменные, между которыми изучается связь, представлены в порядковой шкале, или одна из них — в порядковой, а другая — в метричес­кой, то применяются ранговые коэффициенты корреляции: r-Спирмена или т-Кенделла. И тот, и другой коэффициент требует для своего применения предварительного ранжирования обеих переменных.

Коэффициент корреляции г-Спирмена

Если члены группы численностью /Убыли ранжированы сначала по пере­менной X, затем — по переменной Y, то корреляцию между переменными Хм Кможно получить, просто вычислив коэффициент r-Пирсона для двух рядов рангов. При условии отсутствия связей в рангах (т. е. отсутствия повторяю­щихся рангов) по той и другой переменной, формула для r-Пирсона может быть существенно упрощена в вычислительном отношении и преобразована в формулу, известную как г-Спирмена:

(6.6)

где с/, — разность рангов для испытуемого с номером /.

Коэффициент корреляции r-Спирмена (Spearman's rho) равен коэффициен­ту корреляции /--Пирсона, вычисленному для двух предварительно ранжиро­ванных переменных.

ПРИМЕР 6.4

Предположим, для каждого из 12 учащихся одного класса известно время решения тестовой арифметической задачи в секундах (X) и средний балл отметок по мате­матике за последнюю четверть (Y).

№	X	Y	Ранги X	Ранги Y	d,	d]
		4,7		2
		4,5
		4,4
		3,8			-4

ЧАСТЬ I. ОСНОВЫ ИЗМЕРЕНИЯ И КОЛИЧЕСТВЕННОГО ОПИСАНИЯ ДАННЫХ

№	X	Y	Ранги X	Ранги У	d,	d]
		3,7			_4
		4,6
		4,0			-5
		4,2			-5
		4,1
		3,6			_7
		3,5			-10
		4,8
S	-	-

Для расчета корреляции г-Спирмена сначала необходимо ранжировать учащихся по той и другой переменной. После ранжирования можно проверить его правиль­ность: сумма рангов должна быть равна N(N+ l)/2. Затем для каждого испытуемо­го надо вычислить разность рангов (сумма разностей рангов должна быть равна 0). После этого для каждого испытуемого вычисляется квадрат разности рангов — ре­зультат приведен в последнем столбце таблицы. Сумма квадратов разностей рангов равна 474. Подставляем известные значения в формулу 6.6:

12(144-1)

Получена умеренная отрицательная связь между успеваемостью по математике и временем решения арифметической задачи.

Отметим: то же значение корреляции было бы получено при использовании фор­мулы r-Пирсона непосредственно к рангам Хи Y. Применяя же формулу г-Пирсо-на к исходным значениям Хи Y, мы получим г_ху = —0,692.

Коэффициент корреляции т-Кендалла

Альтернативу корреляции Спирмена для рангов представляет корреляция т-Кендалла. В основе корреляции, предложенной М. Кендаллом, лежит идея о том, что о направлении связи можно судить, попарно сравнивая между со­бой испытуемых: если у пары испытуемых изменение по X совпадает по на­правлению с изменением по У, то это свидетельствует о положительной свя­зи, если не совпадает — то об отрицательной связи.

В примере 6.3 данные испытуемых 1 и 2 свидетельствуют об отрицательной связи — мы видим инверсию: по переменной Ху второго испытуемого ранг больше, а по переменной У— меньше. Данные испытуемых 2 и 3, напротив, демонстрируют со­впадение направления изменения переменных.

Корреляция т-Кендалла есть разность относительных частот совпадений и инверсий при переборе всех пар испытуемых в выборке:

x = P(p)-P(q),

ГЛАВА 6. КОЭФФИЦИЕНТЫ КОРРЕЛЯЦИИ

где Р(р) и P(q) — относительные частоты, соответственно, совпадений и ин­версий. Всего в выборке численностью УУ существует N(N— l)/2 всех возмож­ных пар испытуемых. Следовательно,

P-Q

(6.7)

где Р — число совпадений, Q — число инверсий, а (Р+ Q) = N(N— l)/2. Формулу 6.7 можно представить и в ином виде:

т = ^-^- = 1---- I^_ = _Zi----- 1. (6,8)

P + Q N(N-l) N(N-l)

При подсчете т-Кендалла «вручную» данные сначала упорядочиваются по переменной X. Затем для каждого испытуемого подсчитывается, сколько раз его ранг по доказывается меньше, чем ранг испытуемых, находящихся ниже. Результат записывается в столбец «Совпадения». Сумма всех значений столб­ца «Совпадения» и есть Р — общее число совпадений, подставляется в фор­мулу 6.8. для вычисления т-Кендалла.

ПРИМЕР 6.5

Вычислим т-Кендалла для данных из примера 6.4. Сначала предварительно упоря­дочиваем испытуемых по переменной X. Затем подсчитываем число совпадений и инверсий для каждого испытуемого, сравнивая по Y его ранг с рангами испытуе­мых, находящихся под ним. Так, для первого испытуемого ранг по Кравен6,и 6 ис­пытуемых, находящихся ниже него, имеют по Y более высокий ранг: в столбец «Совпадения» записываем 6. Для третьего по счету испытуемого ранг по Y равен 8, трое испытуемых ниже него имеют более высокий ранг, значит, в столбец «Совпа­дения» записываем 3, и т. д.

№	Ранги X	Ранги Y	Совпадения	Инверсии
			Р= 18	0 = 48

ЧАСТЬ I. ОСНОВЫ ИЗМЕРЕНИЯ И КОЛИЧЕСТВЕННОГО ОПИСАНИЯ ДАННЫХ

Для более полной интерпретации полезны соотношения между величи­ной х-Кендалла и вероятностью отдельно совпадений и инверсий:

Так, т = 0,5 значит, что вероятность совпадений равна 0,75, а вероятность инвер­сий — 0,25, то есть при сравнении объектов друг с другом прямо пропорциональ­ное соотношение (например, роста и веса) встречается в 3 раза чаще, чем обратно пропорциональное соотношение. Такая интерпретация кажется более понятной, чем, например, интерпретация корреляции Пирсона г= 0,5: «25% изменчивости в весе могут быть объяснены различиями в росте».

т-Кендалла кажется более простым в вычислительном отношении. Одна­ко при возрастании численности выборки, в отличие от л-Спирмена, объем вычислений х-Кендалла возрастает не пропорционально, а в геометрической прогрессии. Так, при N=12 необходимо перебрать 66 пар испытуемых, а при N = 48 — уже 1128 пар, т. е. объем вычислений вбзрастает более, чем в 17 раз.

Отметим важную особенность ранговых коэффициентов корреляции. Для метрической корреляции r-Пирсона значениям +1 или —1 соответствует пря­мая или обратная пропорция между переменными, что графически представ­ляет собой прямую линию. Максимальным по модулю ранговым корреляци­ям (+1, —1) вовсе не обязательно соответствуют строгие прямо или обратно пропорциональные связи между исходными переменными Хи Y: достаточна лишь монотонная функциональная связь между ними. Иными словами, ран­говые корреляции достигают своего максимального по модулю значения, если большему значению одной переменной всегда соответствует большее значе­ние другой переменной (+1) или большему значению одной переменной все­гда соответствует меньшее значение другой переменной и наоборот (—1).

Проблема связанных (одинаковых) рангов

В измерениях часто встречаются одинаковые значения. При их ранжиро­вании возникает проблема связанных рангов (Tied Ranks). В этом случае дей­ствует особое правило ранжирования: объектам с одинаковыми значениями

приписывается один и тот же, сред­ний ранг. Например, когда эксперт не может установить различие меж­ду двумя лучшими образцами това­ра, им приписывается одинаковый ранг: (1 + 2)/2 = 1,5. Это сохраняет неизменной сумму рангов для вы­борки объемом N: N(N + l)/2.

ГЛАВА 6. КОЭФФИЦИЕНТЫ КОРРЕЛЯЦИИ

При наличии одинаковых (связан­ных) рангов формулы ранговой корреляции Спирмена (6.6) и Кендама (6.7и 6.8) не подходят. Хотя сумма рангов и не меняется, но изменчивость данных становится меньше. Соответственно, умень­шается возможность оценить степень связи между измеренными свойствами. При использовании корреляции Спирмена в случае связанных рангов возмож­ны два подхода:

• если связей немного (менее 10% для каждой переменной), то вычис­лить r-Спирмена приближенно по формуле 6.6;
• при большем количестве связей применить к ранжированным данным классическую формулу /"-Пирсона 6.1 — это всегда позволит опреде­лить ранговую корреляцию независимо от наличия связей в рангах.

При использовании корреляции х-Кендалла в случае наличия связанных ран­гов в формулу вносятся поправки, и тогда получается общая формула для вы­числения т. коэффициента корреляции х_ь-Кендалла (Kendall's tau-b) независи­мо от наличия или отсутствия связей в рангах:

P-Q

'-l)/2]-K_xyj[N(N-l)/2]-K_y ' ⁽⁶'⁹⁾

где х = (1/2)У/?(/?-1) (' — количество групп связей по X,f_t — численность каждой группы); х = (1/2)У/(/)-1) (/ — количество групп связей по У,/ — численность каждой группы).