В частном случае политропического процесса

В самом общем случае уравнение движения в неизменяемой пористой среде для жидкостей и газов, подчиняющихся закону Дарси, в прямоугольной системе координат Оxyz, согласно Л.С. Лейбензону, имеет вид

где k - коэффициент проницаемости пористой среды;

P - давление; r =f (P) - плотность жидкости или газа; h - вязкость жидкости или газа; g - ускорение силы тяжести.

В случае, если жидкость несжимаема (r = const), то уравнение движения приобретает следующий вид:

В случае k = f (xyz) без знания вида этой функции для пластов решение уравнений движения невозможно, и это усложняет описание большого числа практических задач.

В предположении k = const и h = const или k / h = const получается простое уравнение Лапласа

решение которого Р = Р(xyz) в общем случае содержит две постоянные интегрирования и требует задания двух граничных условий.

В этом уравнении давление – лишь функция координат и не зависит от времени, т.е. это случай нестационарной фильтрации.

При течении малосжимаемой жидкости, для которой с достаточной точностью

,

где r₀ - плотность при Р = Р₀; a - модуль объёмной упругости жидкости.

Уравнение движения при k = const и h = const называют уравнением пъезопроводности или упругого режима фильтрации и записывают в виде

где ka/(mh) = К коэффициент пьезопроводности, по аналогии с коэффициентом температуропроводности в подобном по виду уравнении теплопроводности Фурье, описывающем нестационарное температурное поле.

В случае деформируемости пористой среды уравнение пьезопроводности принимает вид

где a₁ - модуль, характеризующий упругость пористой среды.

Решение Р = Р(xyz) приведённых уравнений пьезопроводности содержит уже три постоянных интегрирования и требует задания двух граничных и одного начального (при t = 0) условий.

При течении в неизменяемой пористой среде с k = const газа, плотность которого является функцией давления и температуры; r =f (r, Т) и h = const, уравнения движения записываются в виде

где - функция Лейбензона.

,

где n - показатель политропы; b - коэффициент сверхсжимаемости; RT - газовая постоянная; T - абсолютная температура.

НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ В ТВЁРДЫХ СРЕДАХ

Под действием силы тяжести давление в недрах Земли растёт с глубиной. Давление увеличивается потому, что породы, находящиеся на данной глубине, должны держать на себе все вышележащие слои, вес которых нарастает с глубиной.

При этом из-за наличия горизонтальных неоднородностей силы тяжести в недрах Земли состояние статического равновесия среды с вертикальным градиентом давления оказывается невозможным.

Горизонтальные неоднородности силы тяжести в свою очередь обусловлены неоднородностями плотности, возникающими из-за горизонтальных градиентов температуры. Последние неизбежно появляются при радиогенном нагреве мантийных и коровых пород.

Горизонтальные неоднородности силы тяжести порождают горизонтальные градиенты напряжений, которые приводят к относительным движениям, происходящим в тектонике плит.

НАПРЯЖЕНИЯ - это силы, приходящиеся на единичную площадь и распространяющиеся через среду благодаря межатомным взаимодействиям.