А в кольцевом пространстве

,

где: DR = Dp ± rgL - гидродинамические потери давления, обусловленные только движением жидкости независимо от направления течения.

Интегрирование этих уравнений при условиях s_xz = 0 при х = 0 для щели и s_rz = 0 при r = 0 для круглой трубы приводит к выражениям:

(2.20)

(2.21)

где постоянная интегрирования с² ¹ 0 только при течении жидкости в кольцевом пространстве.

ЗАПОМНИТЕ, что соотношения (2.18)-(2.21) справедливы при ламинарном течении ЛЮБОЙ жидкости (ньютоновской или неньютоновской). Сохранятся они и при турбулентном режиме течения, но под величинами v, DP,s_xz, s_rz, будут пониматься усреднённые по времени значения этих величин:

.

Далее рассматриваются аналитические решения граничных задач течения жидкости в щели и в кольцевом пространстве (в зависимости от характера течения и реологических свойств жидкости).

При этом определяются основные интегральные гидродинамические характеристики потока: объёмный расход Q, средняя скорость v_ср, коэффициент сопротивления l.

Определение объёмного расхода по заданному перепаду давления обычно называют ПРЯМОЙ ЗАДАЧЕЙ ГИДРОДИНАМИКИ, а определение перепада давления по заданному расходу - ОБРАТНОЙ.

Все результаты, рассматриваемые далее, относятся к решениям прямой граничной задачи, а полученные зависимости используются для ВЫЧИСЛЕНИЯ ГИДРАВЛИЧЕСКИХ ПОТЕРЬ. Для этой цели определяется закон сопротивления, т.е. зависимость коэффициента l от характеристик течения.

Основополагающей задачей гидродинамики (гидравлики) является экспериментальное установление закона сопротивления.

Если l не зависит от DР, то для коэффициента сопротивления получаем известный закон Дарси -Вейсбаха, широко используемый для определения гидравлических потерь в цилиндрических каналах при турбулентном режиме течения:

.

Ламинарное и турбулентное течение жидкостей в щелевом канале

1. Ламинарное течение неньютоновской жидкости.

Согласно соотношениям (2.18), отличными от 0 будут лишь одна скорость деформации и одно напряжение сдвига и сохранится только одно уравнение состояния

,

(2.23)

Сравнивая это уравнение с решением (2.20)

получим дифференциальное уравнение относительно скорости

,

решение которого, при граничном условии v(h) = 0, (2h - ширина щели) имеет вид

. (2.24)

Используя формулы (2.22) можно определить основные характеристики потока:

Ø объёмный расход

Ø среднюю скорость

Ø коэффициент сопротивления

,

где S, S_d - соответственно площади поперечного сечения и боковой смоченной поверхности канала; f = t / W- коэффициент трения Фаннинга; - касательное напряжение у поверхности канала; - кинетическая энергия единицы объёма жидкости; b - длина поперечного сечения щели; - параметр Рейнольдса для плоской щели.

Например:

при r = 1000кг/м³; v_ср = 1 м/с; 2h = 0.01 м; m = 0.01 Па ×с

ИМЕЕМ: Re_щ = 1000; l = 0.048; DP/L = 1200 Па/.

ВЫВОД: на каждые 1000м гидравлические потери составят 1.2 МПа.

2. Ламинарное течение жидкости Шведова - Бингама.

Пользуясь тем же уравнением (2.18), и подставляя его в (2.16- интенсивность касательных напряжений) и (2.17- интенсивность скорости деформации сдвига при скорости деформации объёма x = 0) будем иметь:

(2.26).

Знак (-) выбран из-за того, что .

Система уравнений упрощается до одного уравнения (2h₀ - жёсткое ядро потока, см. рис.7, стр.43. Характерный вид профиля скорости в щели при течении неньютоновской жидкости Шведова-Бингама):

(2.27)

Сравнивая уравнение (2.27) с (2.20) получим уравнение скорости

(2.28)

и формулу для вычисления ядра потока

(2.29)

Интегрируя уравнение (2.28) при v (h) = 0, найдём следующее распределение скорости:

(2.30)

Отсюда следует:

Ø при h₀ = h движение жидкости происходить не будет, т.к. v (x) = 0;

Ø условием существования движения является h₀ < h или, используя формулу (2.29),

Однако, если учесть, что начало движения рассматриваемой жидкости обусловлено не динамическим напряжением сдвига t₀, а статическим t₀₀ > t₀, то условием страгивания покоящейся жидкости будет .

По формулам (2.22) определяют основные характеристики потока (впервые получены М.П. Воларовичем и А.М. Гуткиным):

(2.31)

Как видно из полученных выражений, кинематические характеристики потока Q, v_ср и коэффициент сопротивления l зависят от градиента давления нелинейно, что вызывает трудности при решении обратной задачи.

Если исходить из того, что практический интерес представляют случаи, когда DР >>DR₀ (`h<sub>0</sub><<1), то, приняв c (`h₀) = 1 - 3/2`h₀, получим

(2.32)

где - обобщённый параметр Рейнольдса; h_* = h (1+ 1/4Sen_щ) - приведённая вязкость жидкости Шведова - Бингама; Sen_щ = t₀2h/hv_ср - параметр Сен - Венана для плоской щели.

Например, при r = 1350 кг/м³, t₀ = 5 Па, h = 0.04 Па ×с; v_ср = 1 м/с, h = 0.02 м.

ПОЛУЧИМ:

т.е. в этом случае на каждые 1000 м гидравлические потери составляют 0.675 МПа.

3.

Неньютоновская жидкость Освальда - Вейля.

Используя в системе (2.14) соотношения (2.18) и (2.26), получим:

Сопоставляя это уравнение состояния с решением (2.20) приходим к дифференциальному уравнению относительно скорости:

(2.33)

Интегрируя это уравнение при граничном условии v (h) = 0, получим распределение скорости:

(2.34)

где: .

Интегральные характеристики потока при этом будут:

;

где - обобщённый параметр Рейнольдса и - приведённая вязкость жидкости Освальда -Вейля для плоской щели. При n = 1 и k = m формулы (2.34) - (2.35) совпадут с формулами (2.24) - (2.25).

4. Турбулентный режим течения. Когда параметры, или больше критических значений, решение уравнения движения записывается в виде (сравните с 2.20):

.

Касательное напряжение в зависимости от типа жидкости связано со скоростью сдвига уравнениями вида (2.23), (2.27) или (2.33). Напряжение Рейнольдса в силу соотношений (2.10), (2.18) и (2.26) удовлетворяет уравнению Прандтля:

, (2.37)

где принимается, что величина l линейно зависит от расстояния до стенки канала s = h - х, т.е.

l = æs (2.38)

где æ - константа, определяемая из опыта.

Напряжение имеет существенное значение лишь в непосредственной близости от стенок канала, т.е. в узкой области, состоящей из ламинарного подслоя и буферной зоны, где ламинарные и турбулентные законы течения сравнимы между собой.

В основной области течения (турбулентное ядро) можно пренебречь напряжением. Поэтому после подстановки (2.37) и (2.38) в (2.36) получим следующее исходное дифференциальное уравнение: