Лекция 2. Применение теории определителей к решению и исследованию систем линейных уравнений

Применение теории определителей к решению и исследованию систем линейных уравнений

Рассмотрим систему трех уравнений:

a11 . x1+a12 . x2+ a13 . x3=b1
a21 . x1+a22 . x2 + a23. x3=b2	(1)
a31 . x1+a32. x2+a33. x3=b3

Будем, как в первой лекции, обозначать символами А₁₁, А₁₂, … алгебраические дополнения элементов а₁₁, а₁₂, … определителя

	a11	a12	a13
D =	a21	a22	a23		(2)
	a31	a32	a33

Умножим обе части первого уравнения системы (1) на А₁₁, второго - на А₂₁, третьего - на А₃₁ и затем почленно сложим эти уравнения:

(a₁₁ ^. A₁₁ + a₂₁ ^. A₂₁ + a₃₁ ^. A₃₁) ^. x₁ + (a₁₂ ^. A₁₁ + a₂₂ ^. A₂₁ + a₃₂ ^. A₃₁) ^. x₂ + (a₁₃ ^. A₁₁ + a₂₃ ^. A₂₁ + a₃₃ ^. A₃₁) ^. x₃ = b₁ ^. A₁₁ + b₂ ^. A₂₁ + b₃ ^. A₃₁

Отсюда и на основании свойств 9 и 10 определителя имеем:

D. x1 = b1 . A11 + b2 . A21 + b3 . A31

(3)

Аналогично найдем:

D . x2 = b1 . A12 + b2 . A22 + b3 . A32 (4)

D . x3 = b1. A13 + b2 . A23 + b3 . A33 (5)

Правые части уравнения (3), (4) и (5) обозначим соответственно символами , и. Тогда эти уравнения примут вид:

D ^. x₁= , D ^. x₂= , D ^. x₃= , (6)

причем

	b1	a12	a13
=	b2	a22	a23
	b3	a32	a33
	a11	b1	a13
=	a21	b2	a23
	a31	b3	a33
	a11	a12	b1
=	a21	a22	b2
	a31	a32	b3

Определители , , получаются из определителя D в ходе замены соответственно его первого, второго и третьего столбца столбцом свободных членов данной системы.

Предположим, что D не равно нулю. Из уравнения (6) находим:

(7)

Эти формулы называются формулами Крамера. Они определяют решение исходной системы (1). Для доказательства следует подставить в уравнения системы (1) вместо x₁, x₂, x₃ их выражения (7). Убедимся, что, например, первое из них обращается в тождество. Имеем:

a₁₁ ^. x₁ + a₁₂ ^. x₂ + a₁₃ ^. x₃ = a₁₁ ^. + a₁₂ ^. + a₁₃ ^. =

= ^. [ a₁₁ ^. (b₁ ^. A₁₁ + b₂ ^. A₂₁ + b₃ ^. A₃₁) + a₁₂ ^. (b₁ ^. A₁₂ + b₂ ^. A₂₂ + b₃ ^. A₃₂) + a₁₃ ^. (b₁ ^. A₁₃ + b₂ ^. A₂₃ + b₃ ^. A₃₃)] =

= ^. [ b₁ ^. (a₁₁ ^. A₁₁ + a₁₂ ^. A₁₂ + a₁₃ ^. A₁₃) + b₂ ^. (a₁₁ ^. A₂₁ + a₁₂ ^. A₂₂ + a₁₃ ^. A₂₃) + b₃ ^. (a₁₁ ^. A₃₁ + a₁₂ ^. A₃₂ + a₁₃ ^. A₃₃)]

Но согласно свойству 9 определителей

a₁₁ ^. A₁₁ + a₁₂ ^. A₁₂ + a₁₃ ^. A₁₃ = D,

а согласно свойству 10

а11 . А21 + а12 . А22 + а13 . А23 = 0

а11 . А31 + а12 . А32 + а13 . А33 = 0

Таким образом,

a₁₁ ^. + a₁₂ ^. + a₁₃ ^. = b₁

Аналогично можно показать, что в тождество обращаются второе и третье уравнения системы.

Приходим к выводу: если определитель D системы (1) отличен от нуля, то существует, и притом единственное, решение этой системы. Оно выражается формулами Крамера (7).

Обобщим изложенное на случай системы n линейных уравнений с n неизвестными. Такая система, определитель которой отличен от нуля, всегда имеет единственное решение. Оно находится следующим образом: значение каждого из неизвестных равно дроби, знаменателем которой является определитель системы, а числитель получится из определителя системы заменой столбца коэффициентов при искомом неизвестном на столбец свободных членов.

Здесь мне снова хочется сказать похвальное слово в адрес моих учениц(ков). В самостоятельную работу №1, которую я упомянул в первой лекции и на которую буду ссылаться в дальнейшем, включено задание на решение системы линейных уравнений по формулам Крамера.

Давайте еще раз насладимся мастерством Лены Гладковой. Вот фрагмент ее решения. Она находит х₃ из системы уравнений (пример 1)

2x1 + x3 + 4x4 = 9

x1 + 2x2 - x3 + x4 = 8

2x1 + x2 + x3 + x4 = 5

x1 - x2 + 2x3 + x4 = -1

1. Запишем систему в виде

2x1 + 0x2 + 1x3 + 4x4 = 9

1x1 + 2x2 - 1x3 + 1x4 = 8

2x1 + 1x2 + 1x3 + 1x4 = 5

1x1 - 1x2 + 2x3 + 1x4 = -1

2. Найдем

D =			-1
		-1

3. а) Из элементов первого столбца вычтем удвоенные элементы третьего столбца.

б) Из элементов четвертого столбца вычтем элементы третьего, умноженные на -4.

D =			-1
				-3
	-3	-1		-7

4. Разложим этот определитель по элементам первой строки:

D =			-3
	-3	-1	-7

5. К элементам первой строки прибавим элементы третьей строки:

			-2
D =			-3
	-3	-1	-7

6. Разложим этот определитель по элементам первого столбца:

		-2
D = (-3) .		-3	= (-3) . (-3+2) = 3

7. Находим

=
		-1	-1

8. а) К элементам первого столбца прибавим элементы второго столбца.

б) К элементам четвертого столбца прибавим элементы третьего.

в) Из элементов третьего столбца вычтем элементы второго.

=
		-1

9. Разложим этот определитель по элементам четвертой строки:

= (-1) .				= (-3) .

10. а) Из элементов первой строки вычтем удвоенные элементы второй.

б) Из элементов третьей строки вычтем элементы второй.

= (-3) .
		-2	-3

11. Разложим этот определитель по элементам первого столбца:

= (-3) . (-1) .	-2	-3	= 3 . (-15 + 14) = -3

12. Отсюда: х₃ = /D =(-3)/3 = -1

Вернемся к исследованию системы уравнений (1) и рассмотрим случай, когда ее определитель равен нулю. Здесь возможны два варианта.

1) Если в случае D=0 хотя бы один из определителей , , отличен от нуля, то система (1) не имеет решений (говорят, что уравнения этой системы несовместны).

Пример 2. Система

x1+x2+x3=2
3x1+2x2+2x3=1
4x1+3x2+3x3=4

не имеет решений, так как D=0, а = 1 ≠ 0. В том, что данные уравнения несовместны, видно и непосредственно. Действительно, складывая полученых первые два из них и вычитая полученные результаты из последнего, находим 0=1, т.е. приходим к неправильному неравенству.

2) Если D=0 и также = = =0, то система (1) либо совсем не имеет решений, либо имеет бесконечно много решений. В последнем случае, по крайней мере, одно из уравнений системы будет следствием других. Такая система называется неопределенной.

Пример 3. Система

x1+x2+x3=1
2x1+2x2+2x3=3
3x1+3x2+3x3=4

не имеет решений. Даже первые два уравнения этой системы несовместны.

Пример 4. Система

3x1+x2-x3=1
5x1+2x2+3x3=2
8x1+3x2+2x3=3

имеет бесконечно много решений. Видно, что третье уравнение является следствием двух других. Следовательно, данная система равносильна системе двух уравнений с тремя неизвестными.

3x1+x2-x3=1
5x1+2x2+3x3=2

x₁, x₂ выражаются через х₃, а численное значение х₃ можно выбрать произвольно.

Однородная система трех линейных уравнений

Линейное уравнение называется однородным, если свободный член этого уравнения равен нулю.

Рассмотрим систему двух линейных однородных уравнений с тремя неизвестными.

a11 . x1 + a12 . x2 + a13 . x3 = 0			(8)
a21 . x1 + a22 . x2 + a23 . x3 = 0

1. Если а₁₁/а₂₁ = а₁₂/а₂₂ = а₁₃/а₂₃, то система сводится к одному уравнению, первому или второму, из которого одно из неизвестных выражается через два других, значения которых произвольны.

2. Если условие равенства отношений коэффициентов при неизвестных не выполнено, то решения системы находятся по формулам:

x1 =	a12	a13	. t,	x2 = -	a11	a13	. t,	x3 =	a11	a12	. t, (9)
	a22	a23			a21	a23			a21	a13

где t может принимать любые значения (-< t < + ).

Перейдем к рассмотрению системы трех уравнений первой степени с тремя неизвестными:

a11 . x1 + a12 . x2 + a13 . x3 = 0	(10)
a21 . x1 + a22 . x2 + a23 . x3 = 0
a31 . x1 + a32 . x2 + a33 . x3 = 0

Очевидно, что такая система допускает нулевое решение: x₁=0, x₂=0, x₃=0 и, следовательно, всегда совместна. Если D ≠ 0, то это решение является единственным. Если же определитель однородной системы равен нулю, то возможны два случая, «созвучные» рассмотренным при анализе системы (1).

1) Система сводится к двум независимым уравнениям (третье является их следствием).

2) Система сводится к одному уравнению (остальные два являются его следствиями).

Первый случай имеет место, когда среди миноров определителя системы есть хотя бы один отличный от нуля, второй – когда все миноры этого определителя равны нулю. В обоих случаях однородная система имеет бесчисленное множество решений.

Пример 5. Решить систему

x1 + 2x2 + 3x3 = 0

2x1 – 3x2 + 4x3 = 0

3x1 – x2 + 7x3 = 0

Имеем

D =				=
		-3
		-1

= 1 .	-3		-2.			+3 .		-3	= -17 – 4 + 21 = 0
	-1							-1

Следовательно, система имеет решения, отличные от нулевого. Решаем систему первых двух уравнений (третье уравнение является их следствием).

x1 + 2x2 + 3x3 = 0

2x1 – 3x2 + 4x3 = 0

Отсюда по формуле (9) получаем:

x1 =			. t = 17t
	-3

x2 = -			. t = 2t

x3 =			. t = -7t
		-3

Второй указанный выше случай имеет место тогда, когда коэффициенты при неизвестных x_i пропорциональны, т. е. каждое уравнение системы получается из первого умножением его частей на число k.

Пример 6. Система

x1 + x2 + x3 = 0

2x1 + 2x2 + 2x3 = 0

3x1 + 3x2 + 3x3 = 0

имеет бесконечно много ненулевых решений. Она сводится к одному уравнению: х₁ + x₂ + x₃ = 0. Любое решение состоит из трех чисел х₁, x₂ , x_{3 ,} где х₁ и x₂ - какие угодно, а х₃ = - х₁ - x_{2 .}

В заключение вспомним известный вам по школьному курсу математики способ решения линейной системы, называемый методом Гаусса. Он состоит в следующем: систему уравнений приводят к эквивалентной ей системе в треугольном виде путем последовательного исключения неизвестных. Эти действия называют прямым ходом. Из полученной «треугольной» системы переменные находят с помощью последовательных подстановок (обратный ход).

Пример 7. Решить систему

x1 + 2x2 + 3x3 = 2

2x1 + 3x2 – 4x3 = -5

3x1 + x2 + x3 = 3

Чтобы исключить х₁ из второго и третьего уравнений, надо вычесть из них первое, умноженное соответственно на 2 и на 3:

x1 + 2x2 + 3x3 = 2

- x2 – 10x3 = -9

-5x2 – 8x3 = -3

Для дальнейших преобразований удобно умножить второе и третье уравнения на -1:

x1 + 2x2 + 3x3 = 2

x2 + 10x3 = 9

5x2+ 8x3 = 3

Видим, что для исключения x₂ из третьего уравнения, нужно вычесть из него второе, умноженное на 5. В результате получим «треугольную» систему:

x1 + 2x2 + 3x3 = 2

x2 + 10x3 = 9

42x3 = 42

Выполняя обратный ход, с помощью последовательных подстановок, находим неизвестные: x₃ = 1, x₂ = -1, x₁ = 1.