Параграф 2.5: Нелинейные системы

Нелинейной системой называется устройство, в котором связь между непрерывным входным сигналом x(t) и непрерывной выходной реакцией y(t) устанавливается нелинейным оператором преобразования. .В качестве примера такой зависимости с нелинейным оператором преобразования можно привести уравнение , эквивалентное нелинейному дифференциальному уравнению . Исследование нелинейной системы в общем случае представляет собой сложную математическую задачу, которая сводится к проблеме решения нелинейных дифференциальных уравнений. Приемы и методы, позволяющие относительно легко решать линейные дифференциальные уравнения здесь неприменимы. Поскольку коэффициент передачи нелинейной цепи зависит от значения входного сигнала, принцип суперпозиции здесь также не действует, т.к. отклик на сумму входных сигналов не равен сумме откликов на каждый из этих сигналов и при умножении входного сигнала на константу выходной сигнал нельзя рассчитать путем умножения на ту же константу. При прохождении гармонического сигнала через нелинейную цепь его форма изменяется. Он перестает быть гармоническим. В его спектре появляются дополнительные частотные составляющие, т.е. спектр сигнала расширяется, обогащается новыми компонентами. Поэтому спектральный метод анализа непрерывных линейных систем основанный на указании чисел, характеризующих изменение амплитуды (АЧХ) и фазы (ФЧХ) каждой гармоники, проходящей через систему здесь неприемлем, и понятие частотных характеристик к нелинейным системам неприменимо. Тем не менее в ряде случаев исследование нелинейных систем удается провести достаточно простыми способами. Для этого достаточно потребовать, чтобы нелинейная зависимость не содержала в явном виде времени (*). Например, y = Kx². Физически такое требование означает безынерционность нелинейного элемента, т.е. мгновенное установление выходного сигнала вслед за изменением входного воздействия. Безынерционных нелинейных элементов строго говоря не существует, однако, эта идеализация достаточно точна, если характерное время изменения входного сигнала системы значительно превышает время установления процесса внутри самого нелинейного элемента. Зависимость вида (*) называется амплитудной характеристикой системы (в случае, если нелинейная система представляет собой нелинейный двухполюсник, например, диод или переход Э-Б транзистора, входным сигналом которого является напряжение, а выходным ток, зависимость вида (*) называют вольт-амперной характеристикой (ВАХ). В том случае, когда нелинейный элемент нельзя считать безынерционным эффективным является прием, при котором нелинейную систему рассматривают как совокупность безынерционного нелинейного элемента и инерционной линейной части, которые анализируют отдельно. При таком подходе анализ нелинейной системы по прежнему сводится к анализу безынерционного нелинейного элемента. Как правило, амплитудные характеристики реальных нелинейных устройств получают экспериментально. Иногда удается найти их из теоретического анализа. Для изучении процессов в нелинейных системах реальные амплитудные характеристики необходимо отобразить в математической форме, пригодной для расчетов. Наиболее простым и точным способом является представление характеристики в виде таблицы. Этот способ особенно удобен при анализе процессов в нелинейных системах на базе численных методов, проводимого с помощью компьютера. Если исследования проводятся не численными, а аналитическими методами, то требуется подобрать такую аппроксимирующую функцию, которая будучи довольно простой отражала бы все важнейшие особенности экспериментально снятой характеристики с достаточной степенью точности. Наиболее часто применяют либо кусочно-линейную аппроксимацию, основанную на приближенной заменен реальной характеристики отрезками прямых линий с разным наклоном, либо аппроксимацию полиномом более высокой степени. При кусочно-линейной аппроксимации амплитудная характеристика может быть задана так

В частности изображенную зависимость используют в виде математической модели некогерентного детектора — нелинейного устройства, применяемого в аппаратуре связи.

В том случае, когда инерционностью нелинейной системы пренебречь нельзя и необходимо рассматривать ее совместно с нелинейностью, задача сводится к решению линейных дифференциальных уравнений и в общем виде до сих пор не решена. Важным примером подобных систем, являющихся одним из наиболее ответственных узлов оптимального приемника в системах передачи данных являются системы фазовой синхронизации. Универсальным методом исследования этих систем являются имитационное моделирование их на ЭВМ. Существуют также и аналитические методы исследования подобных систем, такие как метод функциональных разложений Вольтера, метод гармонического баланса и др., которые достаточно сложны и имеют ограниченные возможности. Разработка новых методов исследования нелинейных итерационных систем является одной из актуальных проблем современной нации.