Лекция 3. Матрицей называется множество чисел, образующих прямоугольную таблицу, которая содержит m строк и n столбцов

Матрицы. Операции над ними

Матрицей называется множество чисел, образующих прямоугольную таблицу, которая содержит m строк и n столбцов. В общем виде матрица записывается следующим образом:

	a₁₁	a₁₂	…	a₁_n
A=	a₂₁	a₂₂	…	a_2n	(1)
…	…	…	…
	a_m1	a_m2	…	a_mn

Для любого элемента (члена) матрицы a _ij, как и в случае определителей, первый индекс i означает номер строки, а второй индекс j – номер столбца. Сокращённо матрицу записывают так:

A = (a _ij ), где i = 1, 2,...,m, j = 1, 2, … n.

Виды матриц

Если в матрице число строк не равно числу столбцов (m ≠ n), то матрица называется прямоугольной. Таковы, например, матрицы

	a₁₁	a₁₂
А=	a₂₁	a₂₂		B=	a₁₁	a₁₂	a₁₃
a₃₁	a₃₂		a₂₁	a₂₂	a₂₃
	a₄₁	a₄₂

Если число строк равно числу столбцов (m = n), то матрица называется квадратной. Например, квадратными являются матрицы

А=	а₁₁	а₁₂		B=	а₁₁	а₁₂	а₁₃
а₂₁	а₂₂	,	а₂₁	а₂₂	а₂₃
				а₃₁	а₃₂	а₃₃

Число строк и столбцов квадратной матрицы называют её порядком. В приведённом примере порядок матрицы А равен 2, а порядок матрицы В равен 3.

Рассмотрим квадратную матрицу порядка n:

	a₁₁	a₁₂	…	a_1n
A=	a₂₁	a₂₂	…	a_2n	(2)
…	…	…	…
	a_n1	a_n2	…	a_nn

Она называется невырожденной (неособой), если её определитель D_A не равен нулю. Если же D_A = 0, то матрица – особая (вырожденная). Диагональ, содержащую элементы a₁₁, a₂₂, … a_nn, как и в теории определителей, называют главной, а диагональ с элементами a₁_n, a_2,_n_-1, … a_n₁ – побочной.

Матрицы, у которых отличны от нуля только элементы, находящиеся на главной диагонали, называют диагональными. Например, матрицы

A =		и	B =
	-5

являются диагональными матрицами соответственно второго и третьего порядка. Если у диагональной матрицы все элементы главной диагонали равны между собой, т.е. a₁₁ = a₂₂ = … a_nn, то такая диагональная матрица называется скалярной. Если в скалярной матрице все элементы главной диагонали равны единице, то матрица называется единичной и обозначается буквой E. Так, единичной матрицей третьего порядка является матрица

Е =

Если в матрице (1) m = 1, n > 1, то получим матрицу-строку (однострочечную матрицу)

A = (a₁₁ a₁₂ … a₁_n) (3)

Если же m > 1, а n = 1, то получается матрица-столбец (одностолбцевая матрица)

	b₁₁
В=	b₂₁
…
	b_m1

Матрицы-строки и матрицы-столбцы называют также вектор-строкой и вектор-столбцом.

Матрица А^Т (или А^*) называется транспонированной по отношению к матрице А, если столбцы матрицы А являются строками матрицы А^Т. Так, матрица

	a₁₁	a₂₁	…	a_m1
A^T=	a₁₂	a₂₂	…	a_m2	(5)
…	…	…	…
	a_1n	a_2n	…	a_mn

является транспонированной по отношению к матрице (1). Квадратная матрица А называется симметричной относительно главной диагонали, если a _ij = a _ji. Очевидно, что симметричная матрица совпадает со своей транспонированной.

Равенство матриц

Две матрицы А = (a _ij ) и В = (b _ij ) называются равными, если равны элементы, стоящие на одинаковых местах, т.е. если a _ij = b _ij при всех i и j. При этом число строк и столбцов матриц А и В должно быть одинаковым. Так, матрицы

A=	a₁₁	a₁₂		и		B=	b₁₁	b₁₂
a₂₁	a₂₂			b₂₁	b₂₂

равны, если

a₁₁ = b₁₁, a₁₂ = b₁₂, a₂₁ = b₂₁, a₂₂ = b₂₂.

Равные матрицы имеют одну и ту же структуру: обе они либо прямоугольные (m x n), либо квадратные одного и того же порядка n.

Линейные операции над матрицами

Матрицы можно складывать, умножать на число и друг на друга. Рассмотрим эти операции.

Суммой двух матриц А = (a _ij ) и В = (b _ij ) называется матрица С = (c _ij ), элементы которой определяются равенством:

a _ij ₊b _ij = c _ij (i = 1, 2, … m; j = 1, 2, … n).

Аналогично определяется разность двух матриц. Складывать можно только матрицы, имеющие одинаковую структуру: или прямоугольные типа (m x n) или квадратные порядка n.

Пример 1.

a₁₁	a₁₂	+	b₁₁	b₁₂	=	a₁₁+b₁₁	a₁₂+b₁₂
a₂₁	a₂₂	b₂₁	b₂₂	a₂₁+b₂₁	a₂₂+b₂₂

Так как сложение матриц сводится к сложению их элементов, являющихся числами, то на него распространяются переместительный

А + В = В + А (6)

и сочетательный

(А + В) + С = А + (В + С) (7)

законы сложения.

Произведением матрицы А = (a _ij ) на число k называется матрица, у которой каждый элемент равен произведению соответствующего элемента матрицы А на число k:

kА = k(a _ij ) = (ka _ij ) (i = 1, 2, … m; j = 1, 2, … n)

Пример 2.

k	a₁₁	a₁₂	=	ka₁₁	ka₁₂
a₂₁	a₂₂	ka₂₁	ka₂₂

Произведение матриц

Рассмотрим умножение квадратных матриц второго порядка

A=	a₁₁	a₁₂		и			В=	b₁₁	b₁₂
a₂₁	a₂₂				b₂₁	b₂₂

Произведение обозначается так: A ^. B = C (или AB = C).

Чтобы найти элемент с₁₁ первой строки и первого столбца матрицы С, нужно каждый элемент первой строки матрицы А (a₁₁ и а₁₂) умножить на соответствующий элемент первого столбца (b₁₁ и b₂₁) и полученные произведения сложить: c₁₁= а₁₁b₁₁ + a₁₂b₂₁;

чтобы найти элемент с₁₂ первой строки и второго столбца матрицы С, нужно умножить все элементы первой строки (а₁₁ и а₁₂) на соответствующие элементы второго столбца (b₁₂ и b₂₂) и полученные произведения сложить: с₁₂ = а₁₁b₁₂ + a₁₂b₂₂.

Аналогично находятся элементы с₂₁ и с₂₂.

С = AB =	a₁₁b₁₁ + a₁₂b₂₁	a₁₁b₁₂ +a₁₂b₂₂
a₂₁b₁₁+ a₂₂b₂₁	a₂₁b₁₂ + a₂₂b₂₂

Сформулируем правило умножения двух матриц.

Произведением матрицы А = (а _ij ), имеющей m строк и k столбцов, на матрицу В = (b _ij ), имеющей k строк и n столбцов, называется матрица С = (с _ij ), имеющая m строк и n столбцов, у которой элемент с _ij равен сумме произведений элементов i -ой строки (a _i₁, a _i₂, … a _in ) матрицы А на соответствующие элементы j -го столбца (b ₁_j, b ₂_j, … b _nj ) матрицы В.

Согласно этому правилу, число столбцов матрицы А должно быть равно числу строк матрицы В. В противном случае произведение не определено.

Пример 3.

a₁₁	a₁₂	a₁₃	b₁₁	b₁₂	b₁₃
a₂₁	a₂₂	a₂₃^.	b₂₁	b₂₂	b₂₃ =
			b₃₁	b₃₂	b₃₃

a₁₁b₁₁ + a₁₂b₂₁ + a₁₃b₃₁	a₁₁b₁₂ + a₁₂b₂₂ + a₁₃b₃₂	a₁₁b₁₃ + a₁₂b₂₃ + a₁₃b₂₃
a₂₁b₁₁ + a₂₂b₂₁ + a₂₃b₃₁	a₂₁b₁₂ + a₂₂b₂₂ + a₂₃b₃₂	a₂₁b₁₃ + a₂₂b₂₃ + a₂₃b₃₃

Пример 4. (Кристина Владимирова, ТШ-062).

Найти произведение матриц

А =		-3	и В =
	-4
	-5

Найдём каждый элемент матрицы-произведения:

c₁₁= a₁₁b₁₁+ a₁₂b₁₂+ a₁₃b₁₃ = 1 ^. 2 + (-3) ^. 1 + 2 ^. 1 = 1

c₁₂ = a₁₁b₁₂ + a₁₂b₂₂ + a₁₃b₃₂ = 1 ^. 5 + (-3) ^. 2 +2 ^. 3 = 5

c₁₃ = a₁₁b₁₃ + a₁₂b₂₃ + a₁₃b₃₃ = 1 ^. 6 + (-3) ^. 5 + 2 ^. 2= -5

c₂₁ = a₂₁b₁₁ + a₂₂b₂₁ + a₂₃b₃₁ = 3 ^. 2 + (-4) ^. 1 + 1 ^. 1 = 3

c₂₂ = a₂₁b₁₂ + a₂₂b₂₂ + a₂₃b₃₂ = 3 ^. 5 + (-4) ^. 2 + 1 ^. 3 = 10

c₂₃ = a₂₁b₁₃ + a₂₂b₂₃ + a₂₃b₃₃ = 3 ^. 6 + (-4) ^. 5 + 1 ^. 2 = 0

c₃₁ = a₃₁b₁₁ + a₃₂b₂₁ + a₃₃b₃₁ = 2 ^. 2 + (-5) ^. 1 + 3 ^. 1 = 2

c₃₂= a₃₁b₁₂ + a₃₂b₂₂ + a₃₃b₃₂ = 2 ^. 5 + (-5) ^. 2 + 3 ^. 3=9

c₃₃ = a₃₁b₁₃ + a₃₂b₂₃ + a₃₃b₃₃ = 2 ^. 6 + (-5) ^. 5 + 3 ^. 2 = -7

Следовательно,

АВ =		-5

	-7

Далее Кристина находит произведение ВА:

ВА =	2 ^. 1 + 5 ^. 3 + 6 ^. 2	2(-3) + 5(-4) + 6(-5)	2 ^. 2+ 5 ^. 1 + 6 ^. 3
1 ^. 1 + 2 ^. 3 + 5 ^. 2	1(-3) + 2(-4) + 5(-5)	1 ^. 2+ 2 ^. 1 + 5 ^. 3	=
1 ^. 1 + 3 ^. 3 + 2 ^. 2	1(-3) + 3(-4) + 2(-5)	1 ^. 2+ 3 ^. 1 + 2 ^. 3

=		-56
	-36	19
	-25

Видим, что АВ ≠ ВА. Этот пример показывает, что произведение двух матриц, вообще говоря, не подчиняется переместительному закону.

Путём непосредственной проверки можно убедиться в справедливости следующих соотношений для матриц:

(А + В) ^. С = А ^. С + В ^. С (8)

С ^. (А + В) = С ^. А + С ^. В (9)

А ^. (В ^. С) = (А ^. В) ^. С (10)

Завершая анализ операций над матрицами, рассмотрим пример вычисления матричного многочлена.

Пример 5. (Маша Куприянова, ТШ-061).

Найти значение матричного многочлена

3(А² – В²) – 2АВ


при	А =	-2	и	В =	-7	-2
		-1				-1

Имеем


А² =	-2			-2		=
	-1			-1			-3

			2
В² =	-7	-2 ^.		-7	-2	=	-27
		-1			-1


А² – В² =		-39	-23	, 3(А² – В²) =		-117	-69
	-4				-12

			2				19	-14
АВ =	-2	0 ^.		-7	-2	=	-4		,
	-1				-1		-3

	38	-28
2 АВ =	-8
	-6


3(A² – B²) – 2 AB =		-145	-89
	-6	-14

Умножение на единичную матрицу

На основании правила умножения матриц получаем:

АЕ =	а₁₁	а₁₂^.		=	а₁₁	а₁₂
а₂₁	а₂₂		а₂₁	а₂₂

EA =	0 ^.	а₁₁	а₁₂	=	а₁₁	а₁₂
	а₂₁	а₂₂	а₂₁	а₂₂,

т.е. АЕ = ЕА = А (11)

Произведение квадратной матрицы любого порядка на соответствующую единичную матрицу равняется первоначальной матрице. Таким образом, при умножении матриц единичная матрица играет роль единицы, поэтому и называется единичной.

Понятие обратной матрицы

Если А – квадратная матрица, то обратной по отношению к А называется матрица, которая, будучи умноженной на А (как справа, так и слева), даёт единичную матрицу. Обозначив обратную матрицу через А^-1, запишем

А^-1А = АА^-1 = Е (12)

Если обратная матрица А^-1 существует, то матрица А называется обратимой. Операция вычисления обратной матрицы называется обращением матрицы. Для того, чтобы квадратная матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы матрица А была невырожденной.

Нахождение матрицы, обратной данной

Пусть дана невырожденная матрица

	а₁₁	а₁₂	а₁₃
А=	а₂₁	а₂₂	а₂₃
	а₃₁	а₃₂	а₃₃

	а₁₁	а₁₂	а₁₃
D_А =	а₂₁	а₂₂	а₂₃	≠ 0
	а₃₁	а₃₂	а₃₃

Обратной матрицей А^-1 будет матрица

	A₁₁/D_А	A₂₁/D_А	A₃₁/D_А
A^-1 =	A₁₂/D_А	A₂₂/D_А	A₃₂/D_А	,	(13)
	A₁₃/D_А	A₂₃/D_А	A₃₃/D_А

где А _ij – алгебраическое дополнение элемента а _ij определителя D_A.

Убедиться в этом можно, умножая матрицу А на матрицу А^-1. Например, элементы с₁₁ и с₂₃ определяются так:

···

c ₂₃ =a ₂₁···=

== 0

В итоге

	а₁₁	а₁₂	а₁₃	A₁₁/D_А	A₂₁/D_А	A₃₁/D_А
С=AA^-1=	а₂₁	а₂₂	а₂₃	A₁₂/D_А	A₂₂/D_А	A₃₂/D_А	=	=E
	а₃₁	а₃₂	а₃₃	A₁₃/D_А	A₂₃/D_А	A₃₃/D_А

Матрица

	A₁₁	A₂₁	A₃₁
=	A₁₂	A₂₂	A₃₂	(14)
	A₁₃	A₂₃	A₃₃

называется матрицей, присоединённой к А. (Используется также обозначение ). Обратная матрица А^-1 через присоединённую выражается так:

=	1		(15)
D_A

Обратную матрицу будем находить по следующей схеме:

1. Находим определитель матрицы А.

2. Находим алгебраические дополнения всех элементов а _ij матрицы и записываем новую матрицу.

3. Меняем местами строки и столбцы полученной матрицы (транспонируем матрицу).

4. Умножаем полученную матрицу на 1/D_A.

Пример 6. (Лена Иванова, КШ-061).

Дана матрица


A =
	-2	-3

Найти обратную матрицу.

1. Вычисляем определитель матрицы А:


D_A =			=	-12	-17	=	(492 - 493) = -1
	-2	-3		-29/2	-41/2

Так как D_A ≠ 0, то матрица А является невырожденной, и, значит, можно найти матрицу А^-1.

2. Находим алгебраические дополнения элементов этого определителя:

A₁₁ =			= -1,	A₂₁ = -			= 1,	A₃₁ =			= -1,
-2	-3	-2	-3

A₁₂ = -			= 38,	A₂₂ =			= -41,	A₃₂ = -			= 34,
	-3		-3

A₁₃ =			= -27,	A₂₃ =-			= 29,	A₃₃ =			= -24.
	-2		-2

Следовательно,

	-1		-1			-1
A ^-1 = (-1)		-41		=	-38		-34
	-27		-24			-29

Лекция 4.

Применение теории матриц к решению и исследованию систем линейных уравнений

Снова рассмотрим систему трёх линейных уравнений первой степени с тремя неизвестными (см. (1), лекция 2).

а₁₁x₁ + a₁₂x₂ + a₁₃x₃ = b₁
а₂₁x₁ + a₂₂x₂ + a₂₃x₃ = b₂		(1)
а₃₁x₁ + a₃₂x₂ + a₃₃x₃ = b₃

Введём три матрицы:

	а₁₁	а₁₂	а₁₃
А=	а₂₁	а₂₂	а₂₃
	а₃₁	а₃₂	а₃₃

	х₁
X =	х₂
	х₃

	b₁
B =	b₂
	b₃

Используя правило умножения матриц, систему (1) запишем в матричной форме

	а₁₁	а₁₂	а₁₃	х₁		b₁
B =	а₂₁	а₂₂	а₂₃	х₂	=	b₂	(2)
	а₃₁	а₃₂	а₃₃	х₃		b₃

или

AX = B (3)

Это равенство называется простейшим матричным уравнением. Для его решения умножим левую и правую часть слева на матрицу А^-1:

А^-1АX = A^-1B

Так как А^-1A = E, а EX = X, то

X = A^-1B (4)

или в развёрнутом виде

x₁			A₁₁	A₂₁	A₃₁	b₁
x₂	=	1/D_A	A₁₂	A₂₂	A₃₂ ^.	b₂	(5)
x₃			A₁₃	A₂₃	A₃₃	b₃

Произведя умножение матриц, находим

x₁			b₁A₁₁ + b₂A₂₁ + b₃A₃₁
x₂	=	1/D_A	b₁A₁₂ + b₂A₂₂ + b₃A₃₂
x₃			b₁A₁₃ + b₂A₂₃ + b₃A₃₃

Приравнивая элементы матриц, стоящих слева и справа, получаем

x₁ =	b₁A₁₁ + b₂A₂₁ + b₃A₃₁
D_A

x₂ =	b₁A₁₂ + b₂A₂₂ + b₃A₃₂
D_A

x₃ =	b₁A₁₃ + b₂A₂₃ + b₃A₃₃
D_A

Это решение можно записать в форме определителей:

= =

Пример 1. (Маша Куприянова).

Решить систему уравнений:

4x₁ + x₂ – x₄ = -9,

x₁ - 3x₂ + 4x₃ = -7,

3x₂ - 2x₃ + 4x₄ = 12,

x₁ + 2x₂ – x₃ - 3x₄ = 0.

Представим её в виде матричного уравнения и запишем в

виде (3), где

			-1		x₁		-9
A =	-3			, X =	x₂	, B =	-7
	-2		x₃
		-1	-3		x₄

Решение матричного уравнения имеет вид (4). Найдём А^-1.

Имеем:

			-1			-7
D_A =	-3			=		-5			=
	-2				-2
		-1	-3				-1	-3

=(-1) [(-7) ^. 26 + 4 ^. 29 – 11 ^. 5] = 121

Вычислим алгебраические дополнения элементов этого определителя:

	-3						-1					-1
A₁₁=		-2		=38,	A₂₁= -	-2		=-9,	A₃₁=	-3			=-7,
		-1	-3			-1	-3				-1	-3

			-1									-1
A₄₁= -	-3			=-22,	A₁₂= -	-2		=-26,	A₂₂=		-2		=38,
		-2				-1	-3				-1	-3

			-1				-1				-3
A₃₂= -				=43,	A₄₂=			=66,	A₁₃=				=-29,
		-1	-3			-2						-3

			-1				-1					-1
A₂₃= -				=61,	A₃₃=	-3		=34,	A₄₃=-		-3		=55,
			-3				-3

		-3
A₁₄= -			-2	=5,	A₂₄=		-2	=2,	A₃₄=-		-3		=15,
			-1				-1					-1


					A₄₄=	-3		=-22.
							-2

1 2 3

Подборка статей по вашей теме: