Линейные системы с постоянными коэффициентами

Рассмотрим однородную линейную систему

(18)

в которой будем предполагать коэффициенты постоянными. Если систему (18) привести к одному уравнению высшего порядка, то получится линейное уравнение с постоянными коэффициентами. Поэтому естественно искать решения системы (18) в виде показательных функций. Будем искать частное решение в таком виде:

(19)

где и — постоянные, которые нужно определить так, чтобы выражения (19) удовлетворяли системе (18). Подставляя в систему (18) значения (19), сокращая на т собирая коэффициенты при , получим систему алгебраических уравнений

(20)

Рассматривая (20) как систему линейных однородных уравнений относительно , мы замечаем, что для получения нетривиального решения (19) мы должны потребовать равенства нулю определителя системы (20), т.е. мы приходим к уравнению

. (21)

Наряду с определителем нам в дальнейшем придется часто рассматривать матрицу , составленную из тех же элементов:

. (21.1)

Придавая переменной значение , мы получим матрицу .

Уравнение (21) есть уравнение -й степени относительно . Мы будем называть его характеристическим уравнением. Итак, решение вида (19) системы (18) может существовать только в том случае, когда есть корень характеристического уравнения. Могут возникнуть два случая.

1). Все корней характеристического уравнения различны. Пусть эти корни будут . Если один из этих корней подставить в , то мы получим . Покажем, что по крайней мере один из миноров (алгебраических дополнений) -го порядка определителя отличен от нуля при . В самом деле, так как есть простой корень уравнения (21), то . Вычисляем :

(в правой части стоит сумма диагональных миноров -го порядка).

Подставляя вместо значение и вспоминая, что , мы получаем в результате, что по крайней мере один из входящих в последнюю сумму диагональных миноров -го порядка не равен нулю при . Наше утверждение доказано.

Возвращаемся к системе (20), в которой вместо подставим — один из корней характеристического уравнения. Определитель системы равен нулю; следовательно, система имеет отличные от нуля решения . Но, по доказанному, ранг матрицы коэффициентов системы (20) равен ; следовательно, неизвестные определяются с точностью до произвольного множителя пропорциональности (в качестве можно взять миноры любой строки определителя , для которой они не все равны нулю).

Итак, мы получим (обозначая этот множитель через ): , где суть известные числа. То есть, корню соответствует частное решение системы (18) (мы полагаем )

. (22)

Ясно значение множителя : мы знаем, что если систему частных решений домножить на одну и ту же произвольную постоянную, то получим опять решение системы однородных линейных уравнений. Применяя приведенные рассуждения ко всем корням характеристического уравнения, мы получим частных решений вида (22) для .

После этого мы можем записать полное решение системы (18) в виде

Если коэффициенты уравнения действительны, а некоторые корни характеристического уравнения окажутся мнимыми, то они будут входить попарно сопряженными, например: . Соответствующие решения будут иметь вид . Коэффициенты тоже окажутся комплексными сопряженными, если взять их равными минорам одной и той же строки определителей и . Легко убедиться в том, что корням будут соответствовать две системы решений, соответствующих действительной и мнимой части и , вида , где — действительные числа, определяемые из равенств .

Пример. . Ищем решение в виде . Подставляя в заданную систему, получаем уравнения . Условие их совместности дает характеристическое уравнение , или . Корни характеристического уравнения: . Подставляя первый из этих корней в систему для определения и , получаем два уравнения: , из которых одно является следствием другого. Мы можем взять . Первая система частных решений есть . Аналогично, подставляя корень , найдем вторую систему частных решений: . Беря в качестве новой фундаментальной системы решения , находим ; . Общим решением будет .

Заметим, что полученные нами решений (22) являются линейно независимыми (это можно доказать, но мы не будем).

2). Среди корней уравнения (21) есть кратные. Пусть есть -кратный корень характеристического уравнения. В таком случае значение -й производной от при , , и рассуждение, аналогичное предыдущему, показывает, что среди миноров порядка определителя по крайней мере один отличен от нуля при . Отсюда следует, что для ранга матрицы при имеет место неравенство . Система линейных алгебраических уравнений (20) сводится к независимым уравнениям. Из теории линейных уравнений известно, что в этом случае в общем решении системы (20) неизвестных остаются произвольными. Пусть это будут . Остальные неизвестных выразятся в виде линейных комбинаций относительно . Пусть эти выражения будут . Мы получим такую систему решений, зависящую от произвольных постоянных :

Таким образом, одному корню кратности соответствует частных решений, которые мы получаем, полагая для , а все прочие равными нулю (при ):

(22.1)

Матрица из коэффициентов при в правых частях этих равенств имеет вид

.

Ее ранг, очевидно, и равен , т.е. между строками системы (22.1) нет линейной зависимости. Значит, мы получили систему линейно независимых решений, соответствующих корню . Если , т.е. если ранг матрицы при имеет наименьшее значение, то полученное число решений равно кратности корня , и, таким образом, получены все решения, соответствующие этому корню (если , то , и мы возвращаемся к случаю простого корня , которому соответствует одно решение системы).

Если ранг матрицы больше , то число полученных рассмотренным способом решений будет меньше кратности корня . Чтобы найти недостающие решения, мы должны, как в случае одного уравнения -го порядка, искать решения в виде линейных комбинаций функций .

Пример. . Ищем решение в форме . Для определения имеем три уравнения:

. Приравнивая их определитель нулю, получаем

.

Корни последнего уравнения суть . Простому корню соответствует система двух независимых уравнений для , например , откуда

.

Отсюда получаем первую систему решений, содержащую одну произвольную постоянную: .

Если в матрицу вставить , то ее ранг окажется равным 1, и три уравнения для определения сведутся к одному: . Если мы положим , то , и мы получим еще систему решений с двумя произвольными постоянными.

Общим решением будет . Мы получили фундаментальную систему решений, так как определитель

.