Напряженное состояние тела с трещиной

Задача Гриффитса

Разрушение упругих тел

Глава 2. МЕХАНИКА РАЗРУШЕНИЯ

Хрупкое разрушение связано с возникновением в материале трещин, инициированных дефектами в структуре материала, состоянием поверхности в результате обработки или коррозии, действием повторно-переменных нагрузок (усталостные трещины) и т. п. Возникшие трещины сначала развиваются во времени медленно, а потом – быстро. Рост трещин со временем может происходить и при постоянной нагрузке.

Первые основополагающие исследования о развитии хрупких трещин связывают с именем А. Гриффитса, который рассмотрел условия развития единичной трещины в пластине бесконечных размеров и единичной толщины, находящейся в условиях одноосного растяжения (рис. 2.1). При этом требовалось установить, при каком значении внешнего напряжения σ = σ_кр, приложенного к пластине на бесконечности, трещина с начальной длиной 2 l станет неустойчивой, т.е. начнет быстро распространяться при постоянном внешнем напряжении σ.

Рис.2.1. Растяжение плоскости с одиночной трещиной (задача Гриффитса)

Для расширения трещины нужно затратить некоторую работу на преодоление сил взаимодействия соседних слоев. Обозначим через γ работу, необходимую для образования единицы новой поверхности. Тогда поверхностная энергия рассматриваемой пластины, обусловленная образованием трещины:

Г=4γ l. (2.1)

Значение γ (плотность поверхностной энергии) можно считать константой материала. Ее определяют экспериментально.

Потенциальная энергия деформации пластины в связи с образованием в ней трещины уменьшается на величину

, (2.2)

представляющую собой разность потенциальных энергий деформации пластины без трещины и с трещиной в виде вытянутого эллипса.

Исходя из закона сохранения энергии, А. Гриффитс предложил следующую формулировку критерия разрушения: трещина начинает распространяться в том случае, когда при вариации ее длины >0 приращение поверхностной энергии компенсируется со­о­т­вет­с­т­ву­ю­щим количеством потенциальной энергии деформации (полагают, что другие виды энергии отсутствуют):

, (2.3)

где с учетом (2.1) и (2.2)

, (2.4)

. (2.5)

Приращение поверхностной энергии δГ — величина положительная: она характеризует увеличение внутренней энергии тела, в то время как приращение потенциальной энергии деформации δW — величина отрицательная, так как эта часть энергии выделяется телом (благодаря релаксации напряжений в связи с появлением новых, свободных от нагрузки поверхностей тела). Подставляя (2.4) и (2.5) в (2.3), получим

. (2.6)

Отсюда находим

. (2.7)

В случае плоской деформации (когда ε_z = 0) в последней формуле следует модуль упругости Е заменить на Е/(1 – μ²). Тогда

. (2.8)

Формулы (2.7), (2.8) определяют критическое напряжение, при котором происходит самопроизвольный, без дополнительной работы внешних сил, рост имеющейся в теле трещины длиной 2 l.

Рассмотренная теория Гриффитса не учитывает докритического роста трещины, наблюдаемого экспериментально. Однако эта теория заслуживает большого внимания, поскольку она позволяет выразить хрупкую прочность через физические и механические свойства материала, и показывает, что максимальная разрушающая нагрузка имеет место не при возникновении трещины, а после достижения ею некоторых критических размеров. Последнее свидетельствует о том, что существуют безопасные, неразвивающиеся трещины, которые, однако, могут перейти в опасные за счет охрупчивания материала, в результате понижения температуры, динамического действия нагрузки, старения материала
и т. п.

Таким образом, из теории Гриффитса следует, что наличие в той или иной детали трещины еще не свидетельство немедленного выхода детали из строя. В принципе, возможно по критическому значению длины трещины и характеру внешней нагрузки, вводя соответствующий запас на наличие трещины, устанавливать допуск на размер трещины, с которой деталь может работать заданное время. Поскольку не каждая трещина опасна, механика разрушения может развиваться как наука, создающая надежные методы защиты конструкций от хрупкого разрушения.

Теорию Гриффитса можно применять также для металлов и сплавов, обладающих некоторой пластичностью. В этих случаях следует учитывать энергию, которая расходуется на пластическое деформирование. Как показывают опыты, пластическая деформация развивается вблизи вершины трещины в сравнительно тонком слое, окаймляющем ее. Толщина слоя пластически деформированного металла зависит от условий нагружения, свойств материала и может составлять от нескольких десятков микрометров до десятых долей миллиметра.

Е. Орован и Д. Ирвин на основе концепции энергетического баланса Гриффитса предложили дополнительно учесть энергию пластического деформирования, введя в формулу (2.7) вместо истинной удельной поверхностной энергии γ эффективную поверхностную энергию γ_эф = γ + γ_р, где γ_р – работа пластического деформирования при образовании единицы поверхности. Такой подход позволил перейти от идеального материала в схеме Гриффитса к реальным металлическим материалам. Схема квазихрупкого разрушения позволила перевести модель А.Гриффитса в разряд инженерных представлений, в которых трудновоспринимаемая величина поверхностной энергии тела заменяется на эффективную удельную энергию разрушения, доступной для экспериментального определения.

Таким образом, условие квазихрупкого разрушения металлов принимает вид

. (2.9)

Опыты показывают, что для сталей γ_р≈10³γ. Следовательно, в (2.9) можно пренебречь величиной γ и принять γ_эф ≈ γ_р. Заметим, что γ_p ~ 200 Дж/м², a γ~0,l Дж/м².

Отметим, что использование энергетического критерия Гриффитса
не требует рассмотрения явлений, происходящих в малой окрестности конца трещины. При его применении оперируют с величинами энергий и их разностями для всего тела в целом. Поэтому в общем случае энергетический критерий разрушения является необходимым условием разрушения, но не достаточным. Необходимое количество энергий разного вида может присутствовать, но для реализации их взаимного перераспределения надо еще наличие достаточного условия, например достижение напряжением у вершины трещины величины теоретической прочности.

Практика эксплуатации реальных деталей показывает, что из-за концентрации напряжений, неточности сборки, влияния среды и т. п., стадия разрушения, состоящая из возникновения и развития трещины, начинается задолго до исчерпания несущей способности детали. При этом прочность материала детали не реализуется. В результате постепенного роста трещины длительность процесса разрушения от начала до полного разрушения занимает 90 % времени «жизни» детали и более. Вот почему практически инте­ресно не столько наличие трещины, сколько скорость ее роста в тех или иных условиях. В связи с этим основная задача механики разрушения — изучение прочности тел с трещинами, геометрии трещин, а также разработка критериев несущей способности элементов конструкций с трещинами.

разрыв сдвиг срез

Рис.2.2. Типы растрескивания

В развитии трещины различают три простейших типа смещения ее берегов относительно друг друга в соответствии с действием различных внешних нагрузок (рис. 2.2). При деформации растяжения (схема I) возникает трещина отрыва, когда ее поверхности смещаются (расходятся) в направлениях, перпендикулярных к поверхности трещины; при деформации поперечного сдвига (схема II) поверхности берегов трещины смещаются поперек ее передней кромки; при нагрузке по схеме III образуются трещины продольного сдвига, при котором точки поверхности трещины смещаются вдоль ее передней кромки. Очевидно, если на тело с трещиной действует произвольная нагрузка в области применимости закона Гука, на основании принципа суперпозиции любое смещение берегов развивающейся трещины можно представить в виде суммы приведенных трех типов смещений.

Наиболее опасным и распространённым в технике является первый тип трещины, поэтому ограничимся рассмотрением напряжений в зоне вершины трещины именно этого типа.

Рассмотрим задачу о трещине типа I (рис. 2.3). На рисунке изображена бесконечная пластина, находящаяся под действием растягивающего напряжения σ, которое вызывается приложенными в бесконечности силами.

Рис.2.3. Трещина в бесконечной пластине

Нормальные напряжения, действующие на элементе dxdy, вычисляются следующим образом:

,

,

,

σ_z = 0 (плоское напряженное состояние),

σ_z = ν (σ_x+ σ_y) (плоская деформация).

Для других типов трещин также получены выражения для напряжений, аналогичные формулам (2.10). Приведённое решение в силу его простоты является одним из основных в механике разрушения.