Модель трещины с тонкой пластической зоной

Разрушение упругопластических тел

В трещине обычно выделяют две области: внутреннюю и концевую. К внутренней области относят противоположные берега трещины, отстоящие далеко друг от друга, так что их взаимодействие пренебрежимо мало. При этом считают, что поверхность трещины свободна от напряжений, обусловленных взаимодействием противоположных берегов. Концевая область трещины (другое часто встречающееся название – зона предразрушения) длиной d примыкает к контуру трещины. В этой области противоположные берега подходят друг к другу, так что действующие между ними молекулярные (или атомарные) силы притяжения имеют значительную интенсивность.

Для решения задачи о трещине, находящейся в тонкой пластинке, нагруженной в своей плоскости, может быть использована модель трещины, базирующаяся на вышеприведенных гипотезах и с введением перед концом трещины на ее продолжении тонкой пластической зоны, толщина которой порядка упругих перемещений. Тонкая пластическая зона в начале была предложена в виде гипотезы, а позже из решения упругопластической задачи было показано, что такой вид пластической зоны имеет место при плоском напряженном состоянии. В такой модели трещины силы притяжения трактуются как силы ослабленных межчастичных связей. Эти силы принимаются равными некоторой постоянной величине σ₀, если расстояние между берегами трещины не превосходят некоторой величины δ_с, которая считается постоянной для данного материала. Обычно эту модель трещины называют δ_с -моделью.

Рассмотрим особенности одного из вариантов δ_с -модели трещины, предложенного в 1950-х годах. Малая толщина пластической зоны позволяет сделать мысленный разрез перед концом трещины на длину пластической зоны и на полученных поверхностях приложить напряжения σ₀, которые представляют собой напряжения на границе упруго-пластической зоны и препятствуют раскрытию трещины. Исходная трещина с пластической зоной и трещина с разрезом вместо пластической зоны показаны на рис. 2.5а.

После проведения мысленного (дополнительного) разреза задача может рассматриваться не как упругопластическая, а как упругая. При этом очевидны следующие основные положения модели:

1. Если расстояние 2υ между противоположными поверхностями разреза не превышает некоторой величины δ_с, то к берегам разреза приложено напряжение σ₀. Это напряжение притягивает берега один к другому и, следовательно, действует на материал растягивающим образом.

2. Если расстояние 2υ > δ_с, то между противоположными поверхностями трещины нет силового взаимодействия.

Напряжение σ₀ может быть как постоянным, так и переменным, и назначается из независимых соображений. В частности, оно может отождествляться с пределом текучести σ_т или пределом прочности гладких образцов σ_в. Исходя из экспериментальных данных условие σ_т = σ_в является более предпочтительным. Длина пластической зоны d определяется из условия плавности смыкания границ дополнительного разреза в его конце при х = а. Это условие эквивалентно условию непрерывности напряжений в этой же точке. Критерий разрушения, который может быть назван деформационным, в данном случае записывается в виде

2υ (x = l,p = p_c) = δ_с, (2.31)

т. е., когда скачок перемещений в конце трещины или корне пластической зоны достигает предельного значения, трещина получает возможность распространяться. Соблюдение этого условия означает наступление предельного состояния равновесия тела с трещиной. Из условия (2.31) находят критическую нагрузку при данной длине трещины 2 l. В условие (2.31) входит нормальная к линии трещины составляющая вектора смещения. Величина δ_с считается постоянной материала и определяется на основании экспериментов. Она называется критическим раскрытием трещины в вершине или просто разрушающим смещением.

Эта теория может быть использована для описания расщепления атомных плоскостей и для трещин находящихся в пластически деформируемом теле. В математическом отношении оба случая эквивалентны.

В первом случае напряжение σ₀ представляет собой силовое взаимодействие между взаимно противоположными атомами на расщепляемых атомных плоскостях. При этом σ₀ и расстояние 2υ между атомами связаны известным из физики соотношением.

Во втором случае перед трещиной находится пластически продеформированный материал, и напряжение σ₀ определяется методами механики сплошной среды.