Зависимость критической силы от условий закрепленного стержня

Задача Эйлера об устойчивости шарнирно опертого стержня сжатого силой Р

Дифференциальное уравнение (8.1) имеет решения (8.3). Найдем постоянные интегрирования из граничных условий для шарнирно опертого стержня (рис. 8.4).

При или

1). 2).

Откуда:

Рис. 8.4

Если , то получим тривиальное решение, т.е. устойчива только прямолинейная форма равновесия.

При , имеем

откуда , где

, но

Тогда получим

, (8.4)

где — число полуволн (рис. 8.5)

Рис. 8.5

Минимальное значение критической силы будет при . В итоге получим формулу критической силы для шарнирно опертого стержня.

(8.5)

На рис. 8.6 показаны различные случаи закрепления сжатого стержня. Для каждого случая необходимо проводить решение, как это сделано в предыдущем параграфе. Решение этих задач показало, что всех случаев, изображенных на рисунке, критическую силу можно определять по обобщенной формуле.

, (8.6)

Где — коэффициент приведенной длины, а величина — приведенная длина. Приведенная длина — условная длина шарнира опертого стержня, имеющего такую же критическую нагрузку, как заданный стержень. В отдельных случаях это видно из геометрии.