2014-02-02
2252
Определение. Натуральными числами назовем элементы множества N, в котором выделен элемент 
и определено отображение 
(
-следующий за 
, удовлетворяющее следующим аксиомам:
1. 
(1 не следует ни за каким натуральным числом);
2. 
(инъективность);
3. 
.
Аксиомы 1-3 будем называть аксиомами Пеано.
Следствия из аксиом Пеано:
1) 
(однозначность).
2) 
.
Доказательство. Предположим, что 
. Тогда, по аксиоме 2, 
. Поучили противоречие с условием 
, следовательно, предположение ложно.
3) 
.
Доказательство. Пусть 
. 
, т.к. 
. Покажем, что 
. 
. Тогда, по 3 аксиоме Пеано, 
.
4) 
.
Доказательство. Пусть 
. , т.к. . Покажем, что . 
. Тогда, по 3 аксиоме Пеано, .
5) І форма метода математической индукции для множества натуральных чисел: Если утверждение 
о натуральных числах верно для 1 и из истинности этого утверждения для всякого числа следует истинность его для , то справедливо для каждого натурального числа.
.
Доказательство. Пусть 
. , т.к. . Из условия теоремы имеем, что . Тогда, по 3 аксиоме Пеано, .
