2014-02-02
478
- бинарная операция (?)
Докажем методом математической индукции в І форме для натуральных чисел по 
, что является отображением.
База индукции 
:
и 
определено и однозначно, поскольку 
- отображение.
Индуктивное предположение 
:
Пусть 
определено и однозначно.
Покажем справедливость утверждения для 
:
определено и однозначно (?)
. Поскольку 
определено и однозначно, а - отображение, 
также определено и однозначно.
Также методом математической индукции в І форме для натуральных чисел по устанавливает существование и единственность операции .
Операция единственна (?)
Предположим, что наряду с операцией существует операция 
, удовлетворяющая аксиомам сложения:
1. 
;
2. 
.
База индукции :
.
Индуктивное предположение :
Пусть 
.
Покажем справедливость утверждения для :
(?)
, что противоречит предположению.
Таким образом, 
, следовательно, 
.
Операция существует (?)
Рассмотрим систему множеств 
, где 
. Индукцией по 
докажем, что существует отображение 
, удовлетворяющее следующим условиям:
|
|
|
1. 
;
2. 
.
База индукции 
:
Определим 
по правилу:
.
Очевидно, что таким образом определенное существует, причем
1. 
;
2. 
.
Индуктивное предположение 
:
Пусть 
существует и удовлетворяет условиям:
Покажем справедливость утверждения для 
:
(?)
Определим 
по правилу:
.
Определим операцию по правилу 
. Доказано, что 
существует и удовлетворяет аксиомам сложения, следовательно, существует и отображение , удовлетворяющее аксиомам сложения.
что и требовалось доказать.
Замечание. Поскольку операция , удовлетворяющая аксиомам сложения, единственна на множестве натуральных чисел, для нее введем специальный символ 
+, т.е. 
.
Свойства операции сложения на множестве натуральных чисел:
1) 
.
