Пусть ограничено сверху элементом , т.е. . Рассмотрим множество . , т.к. . Тогда, по теореме 3, имеет наименьший элемент , причем , т. к. в противном случае . По следствию 4) из аксиом Пеано, . Предположим, что , следовательно, . Последнее противоречит тому, что - наименьший в , а, значит, предположение неверно. Тогда . Таким образом, - наибольший в .
что и требовалось доказать.
ІІ и ІІІ формы метода математической индукции для натуральных чисел.
Теорема 9 ( ІІ форма ): Если утверждение о натуральных числах верно для 1 и для произвольного натурального числа , большего 1, из верности утверждения для всех натуральных чисел, меньших , следует верность утверждения для числа , то утверждение верно для каждого натурального числа.